(30.28)

Для проверки вычислений можно воспользоваться уравнением (30.4). Уравнение (30.27) может быть упрощено, если учесть, что для ряда случаев практики вторым членом дифференциального уравнения можно пренебречь вследствие малой жёсткости тонкостенного стержня при чистом кручении. Положив 07 О, получим:

EJJiy=-nt.

Уравнение равновесия (30.27) может быть представлено и в другом виде, как дифференциальное уравнение бимоментов. Так как

В В*

из формулы (30.18) 6 = - ру- и значит, б - -pj-, то взамен

(30.27) получим:

Обозначая отношение жёсткостей через = имеем

B - (iB = m. (30.29)

Общий интеграл уравнения (30.29) имеет вид:

В = Q sh адг + Сз ch адг -f В.

Здесь 0=/ - изгибно-крутильная характеристика стержня, а Во - частный интеграл, удовлетворяющий дифференциальному уравнению (30.29). При т, изменяющемся по линейному закону, В =--г.

Произвольные постоянные Q и определяются для каждого частного случая загружения стержня в зависимости от условий его закрепления и условий сопряжения смежных участков (при наличии нескольких участков).

Общий интеграл неоднородного дифференциального уравнения (30.27) может быть представлен в форме:

6 = Di Dx -\- £)з sh алг -\- Dg ch алг -f 9л (J), где Dl, Da, D3 и D4 - произвольные постоянные, определяемые из

произвольные постоянные из начальных условий, можем найти величину угла закручивания 0 в любом сечении стержня, чем решается задача определения всех силовых факторов:

граничных условий; e(jc) - частное решение неоднородного уравнения (30.27), подбираемое в зависимости от вида загружения*).

Для определения постоянных D всегда имеются четыре условия закрепления концов стержня. Так например, для стержня на двух опорах, конструкция которых препятствует .повороту концевых сечений, но допускает свободную их депланацию, можно написать:

при л: = О во = 0 и в = 0 (иначе 5о = 0); > х = 1 e = 0 и в; = 0 (иначе В = 0).

Для 0алки, абсолютно защ.емлённой одним концом, другой конец которой свободен и незагружен, условия на границах имеют вид:

при х = 0 6 = 0 и е = о 1> х = 1 е=0 и Л1 = 07 в -£/Г = 0.

Таким образом, из уравнений (30.28) могут быть найдены все силовые и деформационные факторы;

0 = Di + Dx + Dg sh рсдг 4-- D4 ch dX + 6; 6 = = D2 + aDa ch ajc + dD sh ajc + 8д;

б = - = aDg sh dX -\- aDg ch ax + 6;;

6 = -

EJ...

: aDa ch dx + dW sh ax + б

(30.28)

Применив метод начальных параметров, т. е. считая, что в выбранном начальном сечении все геометрические и силовые факторы имеют вполне определённые значения б , б, и Жо и предполагая, что стержень находится под действием только этих начальных факторов, можем получить из уравнений (30.28) при х = 0:

e, = D, + D,) б; = /)2 + аДз; B, = - QJD,] Ai, = OJD, откуда

D, = -

) Б ы ч к о в Д. В. и Мрощинский А. К., Кручение металлических балок, Стройиздат, 1944 г. § 16.

§ 177] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ СТЕСНЙННОГО КРУЧЕНИЯ

Подставив ЭТИ значения произвольных постоянных в уравнения (30.28) и имея в виду, что при отсутствии внешней нагрузки частный интеграл вд (х) равен нулю, получим *):

в = в. + Ьа-(сЬ л:-1) + (л:-1вЬа) Г=S; сН ал: - sh оог + (1 - ch ojc);

В= - sh our 4- в, ch ад: -f sh ах;

(30.30)

Если, кроме начальных факторов, на стержень действуют геометрические и силовые факторы, приложенные в некотором сечении x=t, то изгибно-кр)тильные факторы для xt по методу наложения будут зависеть также и от 6, 6t, Bt и Mf.

Первая из формул (30.30) в этом случае примет вид:

) = 9, + J shaA:-A(chax-l)+

shaxX

Gh------

+ e, + ®sha(x-0-[cha(x-0-l] +

sha(JC -О

(ЗО.ЗОО

Аналогично црлучаютея и остальные формулы. Формулы (30.30) позволяют решить задачу о стеснённом кручении стержня при любом характере действия нагрузок и потому имеют весьма важное значение для практических расчётов.

В таблице 27 приведены результаты решения уравнения (30.27) для часто встречающихся схем загружения балок и даны выражения изгибно-крутящих бимоментов В, изгибно-крутящих моментов и крутящих моментов Ж*). Через е обозначено расстояние от плоскости действия сил до линии центров изгиба сечения, показанной на каждой из схем.

Через обозначено выражение для сосредоточенного бимомента, возникающего от действия пары сил Му приложенной в плоскости, параллельной главной центральной плоскости, на расстоянии е от центра изгиба. Величина В зависит от способа приложения внешней пары: если образован действием пары поперечных сил, то В = = Л1е; если же реализуется в виде пары продольных сил Р, то

См. Власов В. В., Упругие тонкостенные стержни, 1940, § 11. Бычков Д. В. и Мрощинский А. К., Кручение металлических балок, 1944.