§ 176. Дифференциальные зависимости между силовыми величинами.

Уравнением (30.4) определяется связь между внешним моментом и составляющими моментами внутренних касательных усилий.

Как было показано в § 173, при стеснённом кручении тонкостенного стержня возникают соответственно и два вида касательных наяряжений:

1) касательные напряжения чистого кручения (фиг. 480, а)

2) секториальные касательные напряжения (фиг. 480, б), складывающиеся в сдвигающие усилия dT=iJiF и дающие момент

относительно центра кручения А:

M=\xJFr, (30.23)

где г - перпендикуляр, опущенный из точки А на направление касательного усилия. Складывая эти компоненты полного касательного напряжения, получим (фиг. 480, в):

Для установления связи между действующими в сечении силовыми факторами, рассмотрим условия равновесия элемента длиной

dx, вырезанного из стержня, показанного на фиг. 467. Этот элемент стержня находится в равновесии под действием нормальных и касательных напряжений, приложенных в сечениях / - /и II -П (фиг. 481). Аз- Нормальные усилия, действующие в

сечениях / - / и - , приводятся к би-моментам В и B-\-dB. Приращение бимомента dB должно равняться бимоменту касательных усилий dT=zdF относительно центра кручения Л. Соответствующий элементарный бимомент может

Фиг. 481.

быть вычислен как произведение пары

dM = dTdx

на плечо г (перпендикуляр, опущенный из точки А на плоС1ос?ь. пары).

§ 176] ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ МЕЖДУ В, w гп 547

Имея в виду, что усилия dT возникают на каждой элементарной площадке сечения, получим:

dB = dx[ rrdF+j . rdF

Первый интеграл J xr dF обращается в нуль, что легко доказать, воспользовавшись формулой интегрирования по частям). Что касается второго интеграла J tr dF, то по формуле (30.23) он представляет собой изгибно-крутящий момент М, Следовательно,

dBzdx- или = М. (30.24)

Мы получили дифференциальную зависимость, аналогичную известной дифференциальной зависимости между изгибающим моментом и поперечной силой при изгибе

dx

Рассмотрим случай нагружения стержня непрерывно переменным внешним моментом по длине стержня. Так будет, например, при изгибе стержня равномерно распреде- ,

лённой нагрузкой q, лежащей в пло- ат*]

скости, не совпадающей с линией /mdx 7

центров изгиба.

В этом случае, внешний момент Mq - Мху создаваемый сплошной нагрузкой, изменяется по длине стержня. Мерой изменения величины момента Мх является интенсивность сплошной моментной нагрузки, которую обозначим г. Если нагрузка q неравномерно распределена по длине, то и т будет переменной величиной т~т{х).

*) Действительно, представив г = й, а zdFdv и интегрируя J xri/F = J к t, = I ut, 1 - J V da, получаем: г; = </F = 0, так как

сумма касательных усилий от чистого кручения tdF по сечению F равна нулю. Поскольку iF = 0, той [иг,- J £/и1 = 0,-т. е. J ZyrdFQ.

Выделив из стержня элемент длиной dx и составив условие его равновесия (фиг. 482), получим:

- (Ж + dM;) -\-mdx-\-M = 0

= . (30.25)

Мы снова получили дифференциальную зависимость, аналогичную

соответствующему уравнению= , выражающему связь между поперечной силой и интенсивностью сплошной нагрузки.

§ 177. Дифференциальное уравнение деформаций при стеснённом кручении. Определение силовых факторов.

На основании полученных в § 176 зависимостей между силовыми факторами В, Ж, и т можно составить дифференциальное уравнение углов закручивания, подобное дифференциальному уравнению изогнутой оси стержня.

Так как внешний крутящий момент равен

М = М-\-М, . (30.4)

то формулу (30.25) можно написать в таком виде:

+ = (30.26)

Из теории чистого кручения известно, что

продифференцировав, получим:

dx dx с другой стороны, имея в виду, что = , получим:

dx ~dx~

Если выразить В через 9 по формуле (30.18), т. е. В = - EJJ\ то S = - EJafi, и уравнение (30.26) примет вид:

Окончательно:

EJJ - QJr + = 0. (30.27)

Это и есть дифференциальное уравнение углов закручивания для случая изгибного кручения. Проинтегрировав его и определив