Эта формула годится для вычисления напряжений в любой точке любого сечения стержня, стоит только вместо у vi z подставить координаты точки относительно главных осей с их знаками.

В случае внецентренного растяжения знаки всех составляющих нормального напряжения в точке В изменятся на обратные. Поэтому для того, чтобы по формуле (27.4) получать правильный знак напряжений как при внецентренном сжатии, так и при внецентренном растяжении, нужно, кроме знаков координат у и z, учитывать также и знак силы Р; при растяжении перед выражением

должен стоять знак плюс, при сжатии - минус.

Полученной формуле можно придать несколько иной вид; выне-Р

сем за скобку множитель у; получим:

1 + + !

(27.5)

Здесь и 1у - радиусы инерции сечения относительно главных осей (вспомним, что J = ll - F и = /р . F).

Для отыскания точек с наибольшими напряжениями следует так выбирать у и Zy чтобы а достигло наибольшей величины. Переменными в формулах (27.4) и (27.5) являются два последних слагаемых, Отражающих влияние изгиба. А так как при изгибе наибольшие напряжения получаются в точках, наиболее удалённых от нейтральной оси, то здесь, как и при косом изгибе, надо отыскать положение нейтральной оси.

заменим его действием изгибающих моментов в главных плоскостях. Изгиб в плоскости хОу вокруг нейтральной оси Ог будет вызываться моментом Рур и даст в точке В нормальное сжимающее на-Рур у

лряжение -j-.

Точно так же нормальное напряжение в точке В от изгиба в главной плоскости xOZy вызванное моментом Pzp, будет сжимающим

PZp- Z

и выразится формулой ---,

Суммируя напряжения от осевого сжатия и двух плоских изгибов и считая сжимающие напряжения отрицательными, получаем такую формулу для напряжения в точке В:

Р РУрУ Pzpz /1 , УрУ , рЛ

Обозначим координаты точек этой линии через и z; так как в точках нейтральной оси нормальные напряжения равны нулю, то после подстановки в формулу (27.5) значений у и Zq получаем:

УрУо , рО

= 0.

(27.6)

Это и будет уравнение нейтральной оси; очевидно, мы получили уравнение прямой, не проходящей через центр тяжести сечения.

Чтобы построить эту прямую, проще всего вычислить отрезки, отсекаемые ею на осях координат. Обозначим эти отрезки йу и а. Чтобы найти отрезок Uy, отсекаемый на оси Оу, надо в уравнении (27.6) положить

0 = 0; Уь = ау\

тогда мы получаем:

у Ур

(27.7)

подобным же образом, полагая

получаем:

(27.8)

Если величины ур и zp положительны, то отрезки Uy и будут отрицательны, т. е. нейтральная ось будет расположена по другую сторону центра тяжести сечения, чем точка А (фиг. 430).

Нейтральная ось делит сечение на две части - сжатую и растянутую; на фиг. 430 растянутая часть сечения заштрихована. Проводя к контуру сечения касательные, параллельные нейтральной оси, получаем две точки Di и D, в которых будут наибольшие сжимающие и растягивающие напряжения.

Измеряя координаты у и z этих точек и подставляя их значения в формулу (27.4), вычисляем величины наибольших напряжений в точках Di и D:

0(1,2) = -Я

(27.9)

Если материал стержня одинаково сопротивляется растяжению и сжатию, то условие прочности получает такой вид:

Zpz,-]

1 = Я

] ,УрУ1

(27.10)

Для поперечных сечений с выступающими углами, у которых обе главные оси инерции являются осями симметрии (прямоугольник,

двутавр и др.) У1=Утал И Zi = Ztaax, ПОЭТОМу формула (27.10) упро-

щается, и мы имеем t

(27.11)

Если же материал стержня неодинаково сопротивляется растяжению и сжатию, то необходимо проверить прочность стержня как в растянутой, так и в сжатой зонах.

Однако может случиться, что и для таких материалов будет достаточно одной проверки прочности. Из формул (27.7) и (27.8) видно, что положение точки А приложения силы и положение нейтральной оси связаны: чем ближе подходит точка А к центру сечения, тем меньше величины ур и Zpn тем больше отрезки Uy и а. Таким образом, с приближением точки А к центру тяжести сечения нейтральная ось удаляется от него, и j Z

наоборот. Поэтому при некоторых по- ложениях точки А нейтральная ось 1 будет проходить вне сечения и всё се- I чение будет работать на напряжения одного знака. Очевидно в этом случае 1 всегда достаточно проверить прочность материала в точке D.

Разберём практически важный слу- 431

чай, когда к стержню прямоугольного

сечения (фиг. 431) приложена внецентренно сила Р в точке Л, лежащей на главной оси сечения Оу. Эксцентриситет OA равен е, размеры сечения bud. Применяя полученные выше формулы, имеем:

ур=-\-е; zp=0.

Напряжение в любой точке В равно

УрУ\ р , 123;

так как

F \2bd 12

(27.12)

Напряжения во всех точках линии, параллельной оси Ог, одинаковы. Положение нейтральной оси определяется отрезками

ау = -

Vie

а = 00.

(27.13)