§ 160] ИЗГИБ БАЛКИ ПРИ ДЕЙСТВИИ ПРОДОЛЬНЫХ И ПОПЕРЕЧНЫХ СИЛ 495

ГЛАВА XXVn.

СОВМЕСТНОЕ ДЕЙСТВИЕ ИЗГИБА И РАСТЯЖЕНИЯ ИЛИ СЖАТИЯ.

§ 160. Изгиб балки при действии продольных и поперечных сил.

На практике очень часто встречаются случаи совместной работы стержня на изгиб и на растяжение или сжатие. Подобного рода деформация может вызываться или совместным действием на балку продольных и поперечных сил, или только одними продольными силами.

Первый случай изображён на фиг. 420. На балку АВ действуют равномерно распределённая нагрузка q и продольные сжимающие

liiiiiMiiiiiimiiiiiiiiiii

Фиг. 420.

силы А Предположим, что прогибами балки по сравнению с размерами поперечного сечения можно пренебречь; тогда с достаточной для практики степенью точности можно считать, что и после деформации силы Р будут вызывать лишь осевое сжатие балки.

Применяя способ сложения действия сил, мы можем найти нормальное напряжение в любой точке каждого поперечного сечения балки как алгебраическую сумму напряжений, вызванных силами Р и нагрузкой q.

Сжимающие напряжения ар от сил Р равномерно распределены по площади F поперечного сечения и одинаковы для всех сечений;

нормальные напряжения от изгиба в вертикальной плоскости в сечении с абсциссой лс, которая отсчитана, скажем, от левого конца балки, выражаются формулой

M{x)z

Таким образом, полное напряжение в точке с координатой z (считая от нейтральной оси) для этого сечения равно

496 СОВМЕСТНОЕ ДЕЙСТВИЕ ИЗГИБА И РАСТЯЖЕНИЯ ИЛИ СЖАТИЯ [гЛ. XXVH

На фиг. 421 изображены эпюры распределения напряжений в рассматриваемом сечении от сил А нагрузки q и суммарная эпюра.

Наибольшее напряжение в этом сечении !гр*(9 будет в верхних во-У локнах, где оба вида - деформации вызывают сжатие; в нижних волокнах может быть или сжатие или рас-Фиг. 421. тяжение в зависимости от числовых величин напряжений ор и о. Для составления условия прочности найдем наибольшее нормальное напряжение.

Так как напряжения от сил Р во всех сечениях одинаковы и равномерно распределены, то опасными будут волокна, наиболее напряжённые от изгиба. Такими являются крайние волокна в сечении с наибольшим изгибающим моментом; для них

Таким образом, напряжения в крайних волокнах 7 и 2 (фиг. 421) среднего сечения балки выражаются формулой

и расчётное напряжение будет равно

I <3тах I = i <Jl I =

Если бы силы Р были растягивающими, то знак первого слагаемого изменился бы, опасными были бы нижние волокна балки.

Обозначая буквой N сжимающую или растягивающую силу, можем написать общую формулу для проверки прочности:

(27.1)

Фиг. 422.

F W

При составлении формулы (27.1) предполагалось, что сечение симметрично относительно нейтральной оси и материал одинаково сопротивляется растяжению и сжатию. Описанный ход расчёта применяется и при действии на балку наклонных сил (фиг. 422); такую силу можно разложить на нормальную к оси, изгибающую балку, и продольную, сжимающую или растягивающую.

§ 161]

УЧЁТ ДЕФОРМАЦИЙ ВАЛКИ

§ 161. Учёт деформаций балки.

Если прогибами балки нельзя пренебречь по сравнению с размерами сечения, то следует учитывать не только равномерно распределённые напряжения сжатия или растяжения, но и изгиб от продольных сил. На фиг. 423 изображена изогнутая ось балки, рассмотренной в предыдущем параграфе; наибольший прогиб посредине пролёта обозначен буквой /.

Фиг. 423.

Фиг. 424.

Разрежем балку в опасном сечении посредине пролёта, оставим левую часть (фиг. 424) и вычислим изгибающий момент. На отсечённую часть помимо сплошной нагрузки q и вызванной ею реакции А будет действовать приложенная в точке А горизонтальная сила Р. Прикладывая в центре тяжести О проведённого сечения две равные и противоположные силы Р, получаем, что однажды зачёркнутая сила Р вызывает в проведённом сечении уравновешивающую силу, создающую осевое сжатие, а две дважды перечёркнутые силы Р дают пару с плечом /, добавляющуюся к изгибающему моменту А1о, вызванному поперечной нагрузкой. Таким образом, полный изгибающий момент в рассмотренном сечении равен

Лшах = Л1о з,+ Р/. (27.2)

Наибольшее нормальное напряжение выражается формулой

а - .

тах - сл-

отах

Прогиб / зависит от изгибающих моментов, вызванных не только поперечными нагрузками, но и продольными силами Р; поэтому для его определения следует составить и интегрировать дифференциальное уравнение изогнутой оси с учётом всех сил, действующих на стержень.

Здесь мы встречаемся с тем случаем, для которого принцип независимости действия сил уже неприменим. Более подробно этот вопрос рассматривается ниже, в § 209. Однако на практике необходимо уметь оценить, следует ли учитывать добавочный изгибающий момент от продольных сил или им можно пренебречь и ограничиться проверкой прочности, описанной в предыдущем параграфе.

Принимая во внимание, что момент Р/ является лишь поправкой, можно её вычислить путём последовательных приближений. Сначала найдём прогиб / от одной только поперечной нагрузки; в рассматриваемом примере он будет равен

5А1ошах/ 48/7

(27.3)

так как М = вычислим теперь М = Мощах + / и подставим по-8

лученное значение вместо М в формулу (27.3); получим улучшенное значение прогиба /; при желании эту операцию можно повторить ещё раз.

Таким образом можно приближённо оценить влияние добавочного изгибающего момента Р/.