В данном случае этой формулой можно пользоваться при вычислении напряжений в любой точке каждого сечения балки. Так как формула выведена для точки с положительными координатами у и Zy то, подставляя в неё значения координат с соответствующими знаками, будем всегда получать по формуле (26.2) правильный знак напряжения.

Так, для точки D (фиг. 409) координата у будет положительна, г Z - отрицательна; в соответствии с этим первое слагаемое в формуле (26.2) представит собой положительное (растягивающее) напряжение, а второе - попрежнему сжимающее.

Хотя формула (26.2) и получена из рассмотрения частного случая косого изгиба балки, защемлённой одним концом и нагружённой на другом сосредоточенной силой Р, однако, как нетрудно заметить, она является общей формулой для вычисления напряжений при косом изгибе. Для балок иначе нагружённых и закреплённых нужно лишь договориться о правиле знаков. Если положительное направление главных центральных осей инерции поперечного сечения балки всегда выбирать так, чтобы след плоскости действия сил в сечении проходил через первый квадрант, то знак перед правой частью формулы (26.2) необходимо назначать по тому действию, которое изгибающий момент М (или, что равноценно, его компоненты) оказывают на любую площадку первого квадранта (при растяжении ставить плюс, при сжатии - минус). Тогда для получения по формуле (26.2) правильного знака напряжения на любой другой площадке поперечного сечения достаточно учитывать знаки координат у ]Л Z,

Для нахождения наибольшего нормального напряжения надо отыскать опасное сечение балки и в нём наиболее напряжённую точку. Из формулы (26.2) видно, что опасным сечением будет то, где изгибающий момент М достигнет наибольшей величины.

Для нахождения опасной точки учтём, что при плоском изгибе деформация, соответствующая нормальным напряжениям, сводится к относительному повороту сечений вокруг нейтральных осей. При косом изгибе, являющемся комбинацией двух плоских изгибов, мы имеем

- - M-z J - момент инерции относительно оси

которая при изгибе моментом My будет нейтральной осью. Момент Мг вызывает в этой точке тоже сжимающее напряжение, равное

- sin ср; - момент инерции сечения относительно

ОСИ Z, Полное напряжение в точке С находим как алгебраическую сумму полученных напряжений:

о = ф£ лУ: д1(1£2! 1£!11\, (26.2)

одновременный относительный поворот сечений вокруг двух осей, пересекающихся в центре тяжести сечения.

Из кинематики известно, что вращение фигуры вокруг двух пересекающихся осей может быть заменено вращением вокруг оси, проходящей через точку пересечения. Таким образом, и при косом изгибе мы в каждом сечении будем иметь линию, проходящую через центр тяжести, вокруг которой будет происходить поворот сечения при деформации балки. Эта ось и будет нейтральной; волокна, расположенные в её плоскости, не будут удлиняться или укорачиваться, и нормальные напряжения в точках нейтральной оси будут равны нулю. При относительном повороте сечений наибольшую деформацию (растяжение или сжатие) испытывают волокна, наиболее удалённые от нейтральной оси.

Поэтому нахождение опасных точек при косом изгибе сводится к определению положения нейтральной оси и отысканию точек, наиболее далеко от неё отстоящих.

Уравнение нейтральной оси получим Фиг. 411. из условия, что нормальные напряжения в точках, лежащих на этой оси, равны нулю. Обозначим координаты этих точек j/ и подставив эти величины вместо у я Z ъ формулу (26.2), мы должны получить для о значение, равное нулю:

Q Л1 cos < М sin ср . yQ

Сокращая на -имеем:

cos ср . Zo

(26.3)

Это и есть уравнение нейтральной оси; она является прямой, проходящей через центр тяжести сечения (при j/q = О и z = 0).

На фиг. 411 изображены два поперечных сечения балок; оси У Z являются главными осями инерции. В предположении, что балки нагружены по схеме фиг. 409, на каждом сечении показана проекция силы Р и для каждого квадранта сечения приведены знаки нормальных напряжений; знаки выше и ниже сечения относятся напряжениям от изгиба моментом Жу, знаки справа и слева от течения - к напряжениям от изгиба моментом Ж. Для балки, иным

образом нагружённой и закреплённой (фиг. 412), знаки напряжений соответственно будут другими.

На фиг. 411 нанесено примерное расположение нейтральной оси. Так как она проходит через центр тяжести сечения, то для определения её положения достаточно знать угол а, составленный ею с осью у. Из фиг. 411 видно, что тангенс этого угла равен абсолютной величине отношения к у:

tga =

Из уравнения (26.3) получаем:

tga =

= tgcp5j. (26.4)

Таким образом, положение нейтральной оси не зависит от величины силы Ру а лишь от угла наклона плоскости внешних сил к оси <г и от формы сечения.

Вычислив по формуле (26.4) величину угла а, строим на чертеже Фиг. 412. нейтральную ось, а проводя к се-

чению касательные, параллельно ей, находим наиболее напряжённые точки, как наиболее удалённые от нейтральной оси (точки / и 2 на фиг. 411).

Подставляя в формулу (26.2) координаты этих точек (ух и Zi или у и z) с учётом их знаков, находим величины наибольшего растягивающего и наибольшего сжимающего напряжений. Условие прочности получает такой вид:

COS ср

sin i

(26.5)

где у1 и Zi (или у и z) - координаты точки (в системе главных центральных осей), наиболее удалённой от нейтральной оси.

Для поперечных сечений с выступающими углами, у которых обе главные оси инерции являются осями симметрии (прямоугольник, двутавр)

\Z,\ = \Z.\ = \Zn

формула (26.5) упрощается; для ai,2) имеем:

COScp

, Sin ср\ М / , \ /ол (\л