Фиг. 406.

парой Мо- Начало координат принимаем на нагружённом конце, направление осей координат оставляем прежним (фиг. 406).

Начальными условиями, определяющими постоянные в выражении (25.4) будут:

1) при .V == оо прогиб > = 0; отсюда Л = 5 = 0;

2) при л: = О изгибающий момент М (х) == EJ -г~ = +

3) при x = 0 поперечная сила Q{x)EJ = - Pq,

Опускаем промежуточные вычисления; при помощи второго условия получаем

~ 2EJ *

а из третьего условия Тогда

М{х) = -~ [Ро sin х - МоЭ (cos ?х + sin ?х)] = -1 [РоГг-МШ25,18) Q(x) = ~ -F [Ро (cos f.x - sin f.x) + 2MS sin л] = - [Рг + 2MoSrs].(25.l9)

Теперь готов весь аппарат для расчёта балки любой длины на упругом основании под сосредоточенной нагрузкой.

Рассмотрим балку АВ длиной /<2/о, нагружённую сосредоточенной силой Р на расстоянии а от левого и от правого конца (фиг. 407, а).

Для расчёта такой балки заменим её бесконечно длинной балкой (фиг. 407, б). Для такой балки мы можем найти напряжения в любом сечении, в том числе и в сечениях А, и Bi, соответствующих концам нашей короткой балки.

Таким образом, средняя часть AiB, (фиг. 407, в) бесконечно длинной балки окажется под действием силы Р и усилий по сечениям Ах и В--

прогиб равен всего 0,2/о от прогиба под грузом. Таким образом, практически прогибы обращаются в нуль не при л: = оо, а при х = 21,

Поэтому полученными формулами можно смело пользоваться при расчётах симметричных балок с длиной /4/о, а если учесть, что при л: = /о прогиб равен 4о/о от наибольшего, то и для балок при /2/ часто ими пользуются.

Для более коротких балок можно применить метод последовательных приближений. Для этого нам потребуется уметь вычислять М{х) и Q (л:) в бесконечно длинной балке, нагружённой на одном конце силой и

§ 155]

РАСЧЁТЫ ВАЛОК КОНЕЧНОЙ ДЛИНЫ

Maf Мъ И Qay Qb\ показанные на чертеже направления усилий соответствуют их положительным значениям.

Чтобы работа выделенной части балки АВ совпала с работой заданной балки АВ, надо к сечению А приложить внешние: силу - 0 и пару--ЛГд, а к сечению By\ -Qb -так как в действительной балке в сечениях Avi В наяряжений нет.

Таким образом, в первом приближении напряжения в балке АВ могут быть вычислены как сумма напряжений в точках участка АВ трёх балок /. /Л (фиг. 407). Изгибающие моменты и поперечные силы в сечениях

, Р f Р правой части балки / равны Afi = -fb Qi = -2 - сечений левой

части должен быть изменён знак у т; . Для подсчёта М {х) и (х) во второй балке можно воспользоваться формулами (25.18) и (25.19), положив р = - Q, Mo = - Ml, и переменив знак в выражении для (? (л), так как изменено направление оси X по сравнению с фиг. 406, к которой относятся эти формулы. Таким образом.

чпттпшшттттл

/7

ШЩШ77777Л7777ШЛ7Ш

Q (x) = -[(?й-11+2ЛТбЫ

Для третьей балки следует положить iWj = - Ма и Р, = + таким образом,

Л1 (Х) = -р-1С?а1,-1-ЛШ И

J£~

ттттттттгтттттшгтфтт. Р Щ

птттттттлттттттлшттгттшттттттгш

Фиг. 407.

Что касается величии усилий в сечениях А и В, то они численно равны изгибающим моментам и поперечным силам в этих сечениях. Если при их вычислениях пользоваться таблицей 24, то для поперечной силы в сечении А придётся переменить знак.

Таким образом, вычисляя поправки М (х), М (х), Q (х) и Q (х) при помощи таблицы 24, надо для основной балки вычислить по этой же таблице May Qa при л = л и М Qb при х-=Ь, а затем воспользоваться формулами (25.18) и (25.19), положив Мо = - Ма или - Ж, а Pq = - Q или - Qfy. Так как при подсчёте поправок мы допустим новую погрешность-в сечении Ai балки ив сечении В балки / усилия получаются, хотя и малыми, но не равными нулю, то указанным путём можно внести и дальнейшие поправки, однако это обычно уже является излишним.

Задача расчёта балок на упругом основании изучалась многими советскими учёными, в том числе академиком А. Н. Крыловым, профессорами Н. П. Пузыревским, П. Л. Пастернаком, В. В. Кречмером, доцентом V. Д- Дутовым, профессорами Н. К. Снитко, Б. Г. Кореневым, В. А. Киселевым, А. А. Уманским, С. С. Голушкевичем, Л. В. Канторовичем, К. С. Завриевым, П. Ф. Папковичем, Я. А. Пратусевичем, А. П. Коробовым и др.

Был разработан (1923 г.) эффективный метод расчёта, позволяющий обойтись без описанного здесь приёма последовательных приближений; он назван методом начальных параметров и позволяет через четыре начальных параметра уо, 6о, Mq и Qq, действующих в выбранном начале координат, выразить прогиб у (х), угол поворота 6 (х\ момент М (х) и поперечную силу Q{x) для любого сечения.

Приведём лишь уравнение у (х\ так как остальные легко получить дифференцированием

,(.) = .,Л(.) + во + §- + Йг. (25.20)

Исследования изгиба балок, не следующих закону (25.20), принадлежат профессорам Г. Э. Проктору, Н. М. Герсеванову, Я. А. Мачерету, Б. Н. Жемочкину, М. И. Горбунову-Посадову, А. П. Филиппову, И. Г. Альперину, М. М. Филоненко-Бородичу и др.