EJj=-ky, (25.2)

0 + 13 = 0. (25.3)

Если обозначить = то общий интеграл уравнения (25.3) имеет вид:

у = еЧ {А sin х-\-В cos х) + -р* (С sin Рл: + D cos х). (25.4)

Постоянные А, В, С, D должны быть определены в каждом частном

случае нагрузки и длины балки. Величина р имеет измерение -!-.

длина

ЭТОМ будет (кг/см). Будем считать, что основание оказывает реакцию длина

при прогибах балки как вниз, так и вверх.

На практике задачи о расчёте балки на упругом основании встречаются в железнодорожном деле (рельс, шпала), в строительстве - фундаменты различных сооружений, передающие нагрузку на грунт.

Статически неопределимой такая балка будет потому, что условие статики - сумма нагрузок равна всей реакции основания - не даёт возможности установить распределение этой реакции по длине балки, а значит, вычислить изгибающие моменты и поперечные силы.

Интенсивность реакции в каждой точке связана с прогибами балки. Поэтому для решения задачи необходимо найти сначала уравнение изогнутой оси у=/(х), а уже затем формулы для вычисления изгибающего момента и поперечной силы. Ход решения оказывается обратным обычному.

Найдём уравнение изогнутой оси для балки постоянного сечения, лежащей на упругом основании и нагружённой сосредоточенными силами Pi, Ps, ... (фиг. 402). Начало координат возьмём в любой точке, ось х направим вправо, ось у вертикально вверх. Направление нагрузок вверх будем считать положительным. Напишем обычное дифференциальное уравнение

Так как М(х) нам неизвестен, то постараемся связать прогибы непосредственно с нагрузкой, для этого дифференцируем дважды предыдущее уравнение:

EJ = q{x\ (25.1)

где (л:) - интенсивность сплошной нагрузки, действующей на балку в сечении с абсциссой x.

Сплошной нагрузкой для нашей балки является лишь реакция упругого основания. Интенсивность её пропорциональна прогибам; эта нагрузка направлена вверх, т. е. положительна, когда прогибы идут вниз, т. е. отрицательны, и наоборот. Таким образом, эта нагрузка имеет знак, обратный знаку прогибов:

g{x)=:-ky.

Тогда

§ 153] РАСЧЁТ БЕСКОНЕЧНО ДЛИННОЙ БАЛКИ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ 475

§ 153. Расчёт бесконечно длинной балки на упругом основании, загружённой одной силой Р.

Наиболее просто решается задача об изгибе бесконечно длинной балки, нагружённой одной сосредоточенной силой (фиг. 403). Помимо непосредственного практического значения решение этой задачи позволит путём последовательных приближений рассчитывать и балки конечной длины.

Начало координат расположим в точке приложения силы Р. Определим постоянные Л, 5, С и D. Так как вся реакция осно- иг. 403.

вания, равная силе Р,

должна быть конечной величиной, то прогибы балки в точках, бесконечно удалённых от точки приложения силы, должны обращаться в нуль:

. = 0.

(25.5)

При бесконечно больших значениях х два вторых слагаемых в правой части формулы (25.4) обращаются в нуль благодаря множителю два же первых могут обратиться в нуль лишь при

таким образом,

Л = 0 и 5 = 0;

у = -р* (С sin x + D cos х).

(25.6)

Далее, по симметрии нагрузки и реакции основания, касательная к изогнутой оси в точке приложения силы должна итти параллельно оси абсцисс:

{) =0-

\dx 1x0 Дифференцируя (25.6), получаем:

= е = - p-F [sin рл: (С + /)) + cos х {D - С)].

Подставляя в это выражение л: = 0 и приравнивая результат нулю, находим:

D -С = 0 и C = D; таким образом, уравнения будут:

у = -Р С (sin х + cos ?х\ (25.7)

(25.8)

J = e = -2-F Ср sin рл:.

Для определения последней постоянной С имеем ещё одно уравнение: нам известна величина поперечной силы в начале координат.

Разрезав балку сечением в точке О справа от силы Р и рассматривая правую часть балки, видим, что поперечная сила в этом сечении равна реакции основания, действующей на правую половину балки со знаком минус;

Но, с другой стороны, Таким образом,

EJ,==Q{x), (25.9)

Вычисляем, пользуясь (25.8), и .

= - 2Ср2-р [ cos ?х ~- sin М, (25.11)

= + 4C?5f cos (25,12) Подставляя (25.12) в (25.10) и приравнивая х нулю, получаем:

4£Уа.=-и С = -. (25.13) Теперь значения у и е6 производных получают вид

?x=- + JW = + W (-

M() = Eyg = + J-F[cospxsinpx] =--i, (25.16)

Q {X) = 0 = - у cos Рл = - . т,2. (25.17)

Таким образом, напряжённое состояние и деформации балки на упругом основании всецело определяются нагрузкой и коэффициентом р, зависящим от соотношения жёсткостей балки и упругого основания.

Значения величин у\, г, yj тз в функции аргумента х приведены в таблице 24.

Значения коэффициента k колеблются довольно сильно в зависимости от рода основания; называя ширину балки Ь, можем представить этот коэффициент в виде k = kib, где - так называемый коэффициент податливости основания; он равен силе, которую надо приложить к единице площади основания, чтобы дать ему осадку, равную единице длины.

Для грунта средней плотности ki колеблется в пределах от 0,5 до 5 кг/см; для плотного грунта от 5 до 10 кг/см; для каменной кладки, как основания под балку, от 400 до 600 кг/см и для бетона от 800

до 1500 кг/см. Так как в выражение для р входит то даже значительные колебания величины ki отражаются сравнительно слабо на результатах расчёта.

так как реакция направлена вверх (для правой половины) и вся реакция основания равна Р, значит, поперечная сила в сечении при л* = 0 равна