§ 1441

ТГ.ОРЕМЛ О ТРЁХ МОМЕНТАХ

в) треугольная эпюра изгибающего момента от положительного опорного момента Al+i.

Угол поворота опорного сечения п левого пролёта равен деленной на жёсткость попереч!Юй силе на этой опоре для соответствующей фиктивной балки:

поперечная же сила в опорном сечении равна опорной реакции фиктивной балки R.

Вычислим эту реакцию; грузовая площадь со распределяется между опорами фиктивной балки по закону рычага, передавая на

опору часть нагрузки, равную со; треугольная нагрузка с наи-

большей ординатой М, передаёт на эту опору две трети своей величины, а треугольная нагрузка с ординатой Л4 1 - одну треть. Таким образом,

= I+1 1-I-1 у n-iin=

Фиктивная поперечная сила Qn равна этой реакции со знаком -[-;

Qn = K

Угол поворота 6 равен

0± EJ

Подобным же образом получаем для правого пролёта:

Поперечная сила в этом случае равна опорной реакции со знаком минус:

q;;=-/?;;,

а угол поворота 6 равен:

71+1

Подставляя значения Ь и Ь в уравнение 0 - 0 == О, сокращая на QEJ, получаем:

= 0,

= - 6

(23.16)

Это И есть уравнение трёх моментов.

Таких уравнений мы можем написать столько, сколько имеем промежуточных опор, т. е. сколько имеем неизвестных опорных моментов. После вычисления опорных моментов задача сводится к расчёту ряда шарнирно-опёртых балок, нагружённых уже известными опорными моментами и внешней нагрузкой.

Уравнение (23.16) можно представить в более краткой форме, удобной для запоминания. Подставим в уравнение (23.15) вместо углов 6 их выражения через а затем и через R:

R,-{~Rl = {), (23.17)

Величины Rn и Rn представляют собой реакции на опоре п левого и правого пролётов фиктивной балки; таким образом, теорема о трёх моментах кратко может быть сформулирована так: сумма фиктивных реакций на каждой промежуточной опоре должна быть равна нулю.

Представляют уравнение трёх моментов и в следуюш.ем виде:

Л1 .,/ -Ь 27И (/ + / ) + = - 6/?*. (23.18)

Под Rt подразумевается при этом фиктивная опорная реакция средней опоры {п) от эпюр М{х) заданной нагрузки на обоих смежных пролётах.

Применим уравнение (23.16) к расчёту неразрезной трёхпролётной балки постоянного сечения, загружённой, как показано на

фиг. 376. Перенумеруем опоры от левой руки к ТЩШШШЦЗ правой. Уравнение трёх моментов следует написать 2 раза: для опоры / и опоры 2.

Нам понадобятся площади эпюр изгибающих моментов от внешней нагрузки для основной системы. Эти эпюры построены на фиг. 376, б. Напишем уравнение трёх моментов для опоры /. Полагаем п=\\ тогда

Мп-1 = М = 0\ а) = а)1 = 0;

Фиг. 376.

, 1 Р/2 / , Pll

Уравнение имеет вид:

§ 1441

теорема о ТрВХ моментах

Переходим к опоре 2; полагаем п = 2\ тогда Л4 .1 = Жз = 0; РП

ая = а2 = у; *л+1=*3 = у-

Второе уравнение трёх моментов получает форму

Ж./, + 2Ж, (4 + 4) = I Pll - М,

(23.20)

Лишние неизвестные Mi и Ж3 определятся решением уравнений (23.19) и (23.20).

В частном случае, если принять /, = 4 = 4 = /, эти два уравнения сведутся к следуюш,им:

Решая их, получаем:

(23.21) (23.22)

(23.23) (234)

Зная величины опорных моментов, можно легко построить эпюру моментов для неразрезной балки, не делая дополнительных вычислений. Для. этого вычерчиваем в основной системе эпюры изгибающего

6) в)

м, 3

Фиг. 377.

момента от заданной нагрузки (фиг. 377, б). Эпюры изгибаю-Щ.его момента от опорных моментов Afi и (фиг. 377, в) наносятся пунктиром на фиг. 377, б\ для сложения пограничных