§ 142J ОПРЕДЕЛЕНИЕ ДЕФОРМАЦИЙ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ БАЛОК 447

§ 142. Определение деформаций статически неопределимых балок.

После того, как определены опорные реакции, построены эпюры изгибающих моментов и поперечных сил, подобраны сечения статически неопределимой балки, определение её деформаций ничем не отличается от таких же вычислений для статически определимой балки.

Необходимо лишь отметить, что в этом случае мы будем иметь изби-тонное число уравнений для определения постоянных интегрирования. Этот избыток равен числу лишних неизвестных. Избыточные уравнения при правильно найденных реакциях обратятся в тождества, ибо они уже и были использованы при нахождении лишних неизвестных. Так, для балки, изображённой на фиг. 356, получим следующее дифференциальное уравнение изогнутой оси;

dx 2

Интегрируем:

EJyB- + Cx + D.

Постоянных интегрирования две, условий же для их определения можно написать три, а именно:

в точке А при л: = / прогиб 3; = 0 и угол поворота ~- = 0; > > В >л: = 0 > у = 0.

Третье из этих уравнений обратится в тождество, ибо оно уже было нами использовано при составлении дополнительного уравнения, из которого мы

нашли для В значение -g-. Заметим, что мы могли бы использовать уравнение изогнутой оси балки для нахождения лишней неизвестной. Приняв за лишнюю неизвестную реакцию В, составим и проинтегрируем дифференциальное уравнение изогнутой оси; получим формулы (а) и (Ь). Используя граничные условия в точках А и Bj получим три уравнения, из которых найдём реакцию В и постоянные интегрирования С и D.

При применении графо-аналитического метода к вычислению деформаций статически неопределимых балок мы получим для фиктивной балки недо-статочное число опор; это обстоятельство соответствует избыточному числу уравнений для определения постоянных интегрирования при аналитическом методе. Так, в примере 96 (фиг. 366) мы получим фиктивную балку, изображённую на фиг. 369, б; конец А свободен, конец В опёрт шарнирно.

Однако эпюра нагрузки фиктивной балки такова, что балка находится равновесии. Можно проверить, что фиктивный момент в сечении В равен Улю; это обстоятельство служит контролем правильности вычислений.

Дальнейший ход определения прогибов остаётся прежним; найдём, например, прогиб в сечении под грузом; фиктивный момент Mq равен

Фиг. 369.

Прогиб в точке С равен

у (2а + 3) - 2 (а + 2Ь)

Мус

При а = > = у прогиб

/г = -

7Р/3

если бы не было защемления левого конца, этот прогиб был бы в два с лиш-ним раза больше: fcEl

§ 143. Расчёт неразрезных балок.

Очень важным с практической точки зрения типом статически неопределимых конструкций является неразрезная балка проходящая, не прерываясь, над рядом промежуточных опор, с которыми она соединена шарнирно. Крайние опоры могут быть или шарнирными или защемлёнными. Сначала мы разберём случай шарнирных опор. Одна из опор неразрезной балки делается обычно шарнирно-неподвижной, прочие - шарнирно-подвижными. Нумерацию опор и

.2 Т /?-/ \п yi+f

пл-2

Фиг. 370.

пролётов будем вести от левой руки к правой, обозначая крайнюю левую опору номером О и крайний левый пролёт номером 1. Длины пролётов будем обозначать буквой / с соответствующим номеру пролёта значком. Сечения балки во всех пролётах будем считать одинаковыми и, следовательно, жёсткость балки EJ-постоянной.

На фиг. 370 изображена неразрезная балка, указаны принятые обозначения и изображены возможные реакции опор. Как легко видеть, число лишних опорных реакций равно числу промежуточных опор.

Применяя описанный выше приём решения задачи, следовало бы взять за дополнительные неизвестные реакции промежуточных опор,

моменту от треугольной нагрузки хсс, направленной вверх, и моменту от прямоугольной нагрузки aciCai, направленной вниз (фиг. 369, б); получаем:

Мс= + Р % [2а + 3], Мд= - Р [а + 2],

§ t431

РАСЧЁТ FrEPA3PE3HbIX БАЛОК 449

a за основную систему - балку, шарнирно-опёртую в точках О и /-2. Дополнительными уравнениями служили бы условия равенства нулю прогибов в точках основной системы, соответствующих промежуточным опорам; в этом случае все неизвестные входили бы во все уравнения. Однако более простым и распространённым является другой способ, связанный с иным видом основной системы и дополнительных неизвестных; при этом способе в каждое из уравнений входит не больше трёх неизвестных.

Операции выбора лишней неизвестной и основной системы неразрывно связаны друг с другом; основная статически определимая система получается из статически неопределимой путём отбрасывания опор-пых закреплений, вызывающих опорные реакции, принятые за лишние.

Можно поступить иначе: пре- --шипи li-lu

вратить каким-либо способом рас- . aj

сматриваемую статически неопреде-

лимую конструкцию в статически определимую, а затем посмотреть.

какие усилия или реакции приш- \ 11111 и 11 м{\\r лось бы при этом отбросить. Эти Ш величины и будут лишними неиз- I--*--

величины и будут лишними неиз- I вестными в пашей статически неопределимой системе.

Так, в двухпролётной нераз-

резной балке (фиг. 371, а) можно V-у д я)

принять за лишнюю неизвестную Л i / н

хотя бы реакцию средней опоры

В\ тогда основной системой будет Фиг. 371.

балка на двух опорах Л и С; но

можно превратить рассматриваемую балку в статически определимую путём устройства дополнительного шарнира в точке D (фиг. 371, б). Тогда получится основная система, состоящая из консольной балки CBD и подвесной AD. Постановка шарнира в сечении D требует, чтобы изгибающий момент, а значит, и вызываемые им нормальные напряжения в этом сечении были равны нулю. Таким образом, при переходе к основной системе мы отбросили эти нормальные напряжения в сеченпи Z), передающиеся от левой части на правую, и наоборот; они суммируются в пары сил, равные изгибающему моменту в сечении Z); эти пары, вновь приложенные к основной системе, показаны на фиг. 371, в.

Превращая нашу балку в статически определимую путём введения шарнира Dy мы за лишнюю неизвестную выбираем не внешнюю силу - одну из опорных реакций, а величину изгибающего момента этом сеченни.

Положение сечения D может быть взято произвольно; вычисления получаются наиболее простыми, если совместить точку D