§ 137] СПОСОБ СРЛВНЕННЯ ДЕФОРМАЦИЙ 435

Составим все уравнения статики для нашей балки, приравнршая нулю сумму проекций всех сил на направление оси балки, на перпендикуляр к ней, и сумму моментов относительно точки Л. Получим систему:

Ял = 0, A-\-B - ql = 0, Жл+ -Ж = 0. (23.1)

Из первого уравнения сразу определяется опорная реакция И с для определения трёх других остаются лишь два уравнения.

За лишнюю реакцию можно взять любую из этих трёх: попробуем взять реакцию опоры В. В таком случае мы должны считать, что рассматриваемая балка получилась из статически определимой балки АВу защемлённой концом А (фиг. 357), у которой потом поставили добавочную опору в точке В. Эта статически определимая балка, которая получается из статически неопределимой при удалении добавочного, лишнего опор- Фпг. 357.

ного закрепления, называется основной

системой. Выбрав какую-либо из реакций £

за лишнюю неизвестную, мы тем самым вы- А i. 111 i I М И ! I Ш ! i \ТГ. бираем основную систему. х-

Попробуем теперь превратить основную - -

систему (фиг. 357) в систему, полностью 338.

совпадающую с заданной статически неопределимой балкой (фиг. 356). Для этого загрузим её сплошной нагрузкой див точке В приложим лишнюю реакцию В (фиг. 358).

Однако этого мало: в балке, изображённой на фиг. 358, точка В может перемещаться по вертикали под действием нагрузок q и В; между тем, в нашей статически неопределимой балке (фиг. 356) точка В не имеет этой возможности, она должна совпадать с опорным шарниром. Поэтому, чтобы привести к окончательному совпадению фиг. 356 и 358, надо к последней добавить условие, что прогиб точки В основной системы под действием нагрузок q и В должен быть равен нулю:

Д = 0. (23.2)

Это и будет добавочное уравнение, определяющее реакцию В; оно является условием совместности деформаций в рассматриваемом случае: конец В балки не отрывается от опоры.

Решение этого добавочного уравнения возможно несколькими способами

§ 137. Способ сравнения деформаций.

Выполняя решение составленного в § 136 уравнения (23.2) /в = 0, названного уравнением совместности деформаций, можно рассуждать следующим образом.

Прогиб точки В основной системы под действием нагрузок q я В складывается из двух прогибов: одного /вд, вызванного лишь

нагрузкой q, и другого /вд, вызванного реакцией В, Таким образом,

а) д /в=/вд+/вв = 0, (23.3)

I щи и 111111 11Г1 i Остаётся вычислить эти прогибы. Для - I 1 этого загрузим основную систему одной нагрузкой q (фиг. 359, а). Тогда прогиб - 1- точки В будет равен:

Фиг. 359.

При нагружении основной системы реакцией В (фиг. 359, б) имеем:

fBB- + j.

Подставляя эти значения прогибов в уравнение (23.3), получаем:

Отсюда

SEJSEJ В = .

(23.4)

В этом способе мы сначала даём возможность основной системе деформироваться под действием внешней нагрузки q, а затем подбираем такую силу В, которая бы вернула точку В обратно. Таким образом, мы подбираем величину неизвестной дополнительной реакции В с тем расчётом, чтобы уравнять прогибы от нагрузки q и силы В. Этот способ и называют способом сравнения деформаций.

Подставляя значение лишней реакции В в уравнения статики (23.1), получаем

Д = 5,

Фиг. 360.

Выражение изгибающего момента получаем, рассматривая правую часть балки (фиг, 358) и подставляя значение В:

2 2

4

138]

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРЕМЫ КАСТИЛЬЯНО

Поперечная сила Q выражается формулой

Q = - B-{-qx = - q

<J 1

Эпюры моментов и поперечных сил изображены на фиг. 360. Сечение с наибольшим положительным моментом соответствует абсциссе ху определяемой равенством

f = 0, т.е. ¥-,л;о = 0.

Отсюда Xo=-g-, соответствующая ордината эпюры моментов, равна: /Ишах - /W, - 8 8 2.64 ~l28*

§ 138. Применение теоремы Кастильяно, теоремы Мора и способа Верещагина.

Раскрытие статической неопределимости для балки, рассмотренной в §1 136 и 137, может быть произведено и при помощи теоремы Кастильяно (§ 127).

Лишнюю опорную реакцию В (фиг. 361, а) заменяем лишней неизвестной силой В, действующей вместе с заданной нагрузкой q на основную статически определимую балку АВ (фиг. 361, б).

Дифференцируя по силе В потенциальную энергию и вычисляя таким образом прогиб /д, еле-

дует /в приравнять нулю; уравнение (23.2) станет следующим:

Mdx дМ

EJ дВ

= 0. (23.5)

Остаётся вычислить М и

яовить пределы интеграла и взять его:

М = -\-Вх-Ц;

дМ дВ

дМ ,

(23.6)

Фиг. ЗС

Будем считать, что сечение балки не меняется по длине; уравнение (23.5) примет вид:

отсюда

{вх--)хйх = 0 или - = 0;