Отметим, что при вычислении dU безразлично, за счёт добавления каких сил происходит вариация координаты а, лишь бы эта вариация была мала; соответствующая сила тоже будет мала, её работа окажется величиной 2-го порядка малости и не войдёт в уравнение сохранения энергии, как это было показано в § 126.

Применяя формулу (22.6) к случаю, когда сила приложена посредине

пролёта, и отыскивая прогиб в этом же сечении, получаем при с =

и = у:

1+1 + 1 L

(22.7)

-EJ п=\, 3, 5, ...

Этот ряд сходится очень быстро, достаточно сохранить только первый член.

Пример 95. Дать приближённое выражение для изогнутой оси балки, представленной на фиг. 352. Сплошную нагрузку можно заменить системой элементарных сосредоточенных сил q dc. Прогиб dy в любом сече-

Фиг. 352.

НИИ с абсциссой л от такой силы, расположенной на расстоянии с от начала координат, можно вычислить по формуле (22.6), заменяя Р на q dc. Тогда

п = оо

qd с/ 1 . rnzc . пкх

~EJ -1

Для вычисления полного прогиба у надо проинтегрировать этот ряд по с от О до ; интегрируя общий член ряда, получаем:

Интеграл

qd сР 1 . пт.с , пт.х ql 1 . ПТ.Х -Ч--г sin - sin -- = -f--- sin --

ri-Lsin

J EJ

. ПТ.С , I

sin - flTc =--

/ nr.

COS -

2 £ 0 пт:

Sin -y- dc.

1 - COS

Разность, стоящая в скобках, равна

при п=\.....1

> п = 2.....2

n=z3.....1

д = 4.....О и т. д.

Таким образом, у будет выражаться формулой

0,5п EJ

V 1 . пт.х , у 2 . rnzx

/1=1, 3, 5, ...

/1 = 2, 6, 10, ...

. (22.8)

Оба ряда, стоящие в скобках, быстро сходятся. Сохраняя лишь первые слагаемые, вычислим прогибы посредине к в четвертях пролёта:

вместо точного значения

ql /2-153,67

5147 + 9 sin

. Зт:/ , 2 . 27: . 3/ sm - + sm

4/ 2

0,769 ql - 0,57i5 EJ

0,645 qP

ГЛАВА ХХШ. СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ БАЛКИ.

§ 16. Общне понятия и метод расчёта.

До сих 110) мы рассматривали только статически определимые балки, у которых три опорные реакции определялись из условий равновесия. Очень часто, по условиям работы конструкции, оказывается необходимым увеличить число опорных закреплений; тогда мы получаем так называемую статически неопределимую балку.

Фиг. 353.

Фиг. 354.

Например, для уменьшения пролёта балки АВ на двух опорах (фиг. 353, а) можно поставить опору ещё посредине (фиг. 353, б)\ для уменьшения деформаций балки, защемлённой одним концом (фиг. 354, а), можно подпереть её свободный конец (фиг. 354, б).

СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ БАЛКИ

[гл. XXHI

Для подбора сечения таких балок, так же как и в рассмотренных ранее задачах, необходимо построить обычным порядком эпюры изгибающих моментов и поперечных сил, а стало быть, определить опорные реакции.

Во всех подобных случаях число опорных реакций, которые могут возникнуть, превышает число уравнений статики, например, для балок фиг. 355, а и б четыре опорные реакции, а для бглки

ТТЛ ргп

Фиг. 355.

I -Фиг. 356.

фиг. 355, в - пять. Поэтому необходимо составить дополнительные уравнения, выражающие условия совместности деформаций, которые вместе с обычными уравнениями равновесия и дадут возможность определить все опорные реакции.

Определим опорные реакции и построим эпюру моментов для балки, находящейся (фиг. 356) под действием равномерно распределенной нагрузки q. Сначала изобразим все реакции, которые по устройству опор могут возникнуть в этой балке. Таких реакций может быть на опоре А три: вертикальная Л, горизонтальная На

и опорный момент Жд; на опоре В воз- У можно появление лишь одной реакции В.

11Ц11111111111Ш1В Таким образом, число опорных реакций на одну больше, чем уравнений статики.

Одна из реакций является добавочной, как говорят, лишней неизвестной. Этот термин прочно укоренился в технической литературе; между тем, принять его можно лишь условно. Действительно, добавочная реакция и соответствующее ей добавочное опорное закрепление являются лишними только с точки зрения необходимости этих закреплений для равновесия балки как жёсткого целого. С точки же зрения инженера добавленное закрепление во многих случаях не только не является лишним, а наоборот, позволяет осуществить такую конструкцию, которая без него была бы невозможна. Например, балка фиг. 353, б могла бы в некоторых случаях перекрыть пролёт АВ лишь при наличии добавочной опоры в точке С. Поэтому мы будем пользоваться термином лишняя опорная реакция , лишняя неизвестная лишь условно.