Отсюда

Примем

Тогда

Pda, г= 1 da EJ \ / {х) dx.

{x)dx

/()=sin.

(22.2)

4S JEJ

что чрезвычайно близко к точному значению прогиба посредине пролёта Р Р

рассматриваемой балки: Достаточная точность получилась благодаря

тому, что выбранная форма кривой f{x) удовлетворяет б опорных сечениях не только условиям для прогибов у, но и для изгибающих моментов, пропорциональных у\

Если бы на балке было расположено несколько сил Pi, Pg, Pg,... на расстояниях Ci, Сг, Cg,... от начала координат (левого конца балки), то работа dAp выразилась бы формулой

dAp = Pi dafid) + Padaj{c2) + ..., и для 1 мы получили бы выражение

. PJ(ci) + P,f(c,) + ...

(х) dx

Рассматривая сплошную нагрузку как сумму отдельных элементарных сил, мы можем путём интегрирования получить ai и для этого вида загружения балки. При действии пар сил Ми Л2, Из, .. множителями при них будут/41),/42),...

По закону сохранения энергии

dUp = dU

§ 135. Разложение уравнения изогнутой оси в тригонометрический ряд.

Изложенный в предыдущем параграфе приём замены изогнутой оси балки одной синусоидой не при всех случаях нагрузки может дать такой удовлетворительный результат, как в рассмотренном примере.

В этих случаях целесообразно представить изогнутую ось балки в виде суммы ряда синусоид, т. е. разложить уравнение изогнутой оси в бесконечный тригонометрический ряд, который обычно быстро сходится и в пределе даёт точное решение.

Общее выражение для изогнутой осп в случае балки на двух опорах принимает вид:

у = Ql sin J- + sin ~j- +...

. -r a,

t sm -+... sm-+ ...

(22.3)

Фиг. 351.

Последовательные синусоиды изображены на фиг. 351. Каждый член этого ряда и его производные удовлетворяют условиям на опорах А и В, При выборе формы ряда надо иметь в виду, что так как в выражение входит квадрат второй производной от у, то удовлетворение условий для этой производной очень важно; в противном случае можно получить большую погрешность. Условие же для третьей производной от у (для поперечной силы) может быть нарушено без особого влияния на точность результатов. Для определения коэффициентов Си as, fls,..., я следует применить, как и в предыдущем примере, закон сохранения энергии.

Формула для вычисления потенциальной энергии деформации принимает вид:

sm -;;--... - ~- sm

При возведении в квадрат мы получим под интегралом слагаемые двух видов:

rzV.* . пт.х sm2-

2апа,

. пт.х . mrvx sm -7- sm --.

Интегрируя, находим:

3 -7Г sm2 flfA =

д2--- /7?

nffin* . п-.х . тт.х . 2в уя -л- sin -7- sin -- dx = 0.

§ 135] РАЗЛОЖЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ИЗОГНУТОЙ ОСИ В РЯД 431

Таким образом, выражение для потенциальной энергии деформации примет вид:

л=оо

f/ = ( I + + ... + naf, + ...] = jgZ 2 nal (22.4)

Потенциальная энергия деформации выражена в функции обобщённых координат и представляет собой сумму количеств потенциальной энергии, накапливающихся при изгибе балки отдельно по каждой синусоиде.

Переведём балку в смежное, очень близкое, положение равновесия и составим уравнение сохранения энергии. Мы можем перевести балку в смежное положение равновесия, изменяя на dai только один какой-либо из коэффициентов flf , оставляя остальные без перемен. Тогда в выражения (22.3)

вместо слагаемого а sm-j- войдет величина (aj + fifaj) sm -у-, а все

остальные слагаемые сохранят своё значение. При этом изменится потенциальная энергия деформации, соответствующая только изгибу балки по си-. n-ix

нусоиде sm -.

Таким образом, приращение потенциальной энергии деформации балки за счёт изменения коэффициента а будет равно

ди nEJ , , = dan = 27 nOndan-

Это приращение должно быть численно равно уменьшению потенциальной энергии внешних независимых сил при вариации координаты

Рассмотрим случай нагрузки балки на двух опорах сосредоточенной силой Р, приложенной на расстоянии с от левой опоры (фиг. 351). Прогиб под этой силой равен

. тгс , . 2пс , , . ппс ЗГс = а15ш-у + Л2 sm - + ... + an sm -.

При увеличении этого прогиба за счёт изменения координаты Оп на da потенциальная энергия нагрузки уменьшится на величину dUpt равную работе dA силы Р при изменении прогиба

dU = dA = Pdyc; dUpPdur, sin !.

Составляем уравнение сохранения энергии:

dU = dUp или

nanda = Р da sm -,

откуда

Р sm -

(22.5)

Тогда уравнение прогибов получает вид:

РР EJ

ПС . пх г \ . 2яс . 2пх

sm- sm - + 8ш- sm --f ... V 1 . ппс . nnx /оой\

2 ~ т- -