Пример 92. Определить прогиб сечения D балки АВ (фиг. 347). Пролёт балки / = 6 м\ сечение двутавровое № 20а с моментом инерции У = 2370 см\ сила Р = 2 г; пружина имеет /г = 10 витков; радиус её витков 7 = 5 c.w; диаметр стержня пружины й?==2 см) материал - сталь.

Искомый прогиб можно представить как сумму двух прогибов: f=:fi- -J-/2, где /i - прогиб сечения D под влиянием просадки опоры, sl f -

прогиб сечения D под влиянием изгиба балки АВ.

Прогиб fi равен половине осадки пружины под опорой В. На пружину действует сила 5 = 0,5Р; по формуле (11.28) имеем: j 4 0,5 Р Rn PR4i 2 Gr* Gr

Прогиб /а находим по способу Верещагина, построив эпюры М и (фиг. 347):

\ PI l\

48fcV

подставляя численные значения, находим: 2000 . 600 . 2000 . 5 . 10

48 . 2 . 10 . 2370

Фиг. 347.

8 . 105 . р = 1,9 + 3,1=5,0 см. Пример 93. Определить прогиб от поперечной силы для деревянной балки, шарнирно-опёртой, пролётом /=1,2 ж, нагружённой посредине пролёта силой Р=10г; сечение балки - прямоугольник с размерами 30 х 20 cjf; 0 = 5500 кг1см\ Е= 100 000 л:г/сж .

Пользуемся зависимостью между прогибом у и изгибающим моментом

в сечениях балки:

кМ(х) ,

(21.27)

Отсчитывая абсциссы от левого конца балки, получаем для её левой половины:

при jc=0 прогиб yq равен нулю; поэтому Cq = 0 и

Наибольший прогиб, как известно, будет посредине пролёта при л* = у-

10 000 . 120

max3Q---/4-- 5 4 . 5500 . 30 . 20

= -0,11 см.

Знак минус показывает, что прогиб направлен вниз (положительная ось у направлена вверх). Вычислим прогиб от действия изгибающих моментов:

48fcV

10 000.120

-- = -0,08 см:

48 . 100 000 .

30 . 20 12

ои MCHbHie, чем от действии поперечной силы. Это объясняется тем, что

балка сравнительно короткая: уг=:~ и поперечная сила велика при сравнительно небольшом изгибающем моменте.

Пример 94. Определить вертикальное (/) и горизонтальное (А) перемещения узла В кронштейна ABC под действием силы Р (фиг. 348); Р=4 г.

Фиг. 348.

Фиг. 349.

Поперечное сечение стальных стержней: -круглое, = 2 см, ВС - лъу-тавр № 12 с площадью сечения 14,7 см.

Усилия в стержнях от заданной нагрузки (фиг. 348)

Si = 0,75 Я; S8=-1,25Р.

Загружаем ту же систему: силой Я?==1, направленной вертикально (для определения /), и силой Ру, = 1, направленной горизонтально (для определения Л). Усилия В стержнях от единичной нагрузки

S; = 0,75; S =1,25 (фнг. 349, а); S} = 1; SS = 0 (фиг. 349, б). Искомые перемещения (см. 21.22 ):

у S so . / 0,75Р . 0,75.150 - 1,25Р . 1,25) 250 Z EF 2. 10*. 3,14 2.10 .14,7 -ЧПсл1,

S . so . / 0,75Р . 1 . 150

2 . 10 . 3,14

= 0,07 см.

Узел В переместится, следовательно, на 0,11 см вниз (по направлению силы Р) и на 0,07 см вправо (по направлению силы Pfi).

ГЛАВА ХХП.

ПРИБЛИЖЁННОЕ УРАВНЕНИЕ ИЗОГНУТОЙ ОСИ БАЛКИ.

§ 134. Приближённый приём вычисления прогибов.

При аналитическом вычислении прогибов мы получали для каждого участка балки своё уравнение изогнутой оси. Но можно представить изогнутую ось балки, лежащей, например, на двух опорах, одной кривой, сколько бы участков ни было на балке.

Уравнение этой кривой можно в известной мере выбрать произвольно, лишь бы были удовлетворены условия для прогибов, углов поворота,

х = 0

J}> = 0, У = 0, а / и У 90.

В уравнении (22.1) sin - безразмерная функция от х, которой мы заранее задаёмся, а Gi - прогиб в середине пролёта. Достаточно найти 1, чтобы

получить возможность приближённого вычисления прогибов балки. Для нахождения ai напишем условие превращения части потенциальной энергии внешних нагрузок в потенциальную энергию деформации балки при переходе её в смежное положение равновесия, пофиг. 350. казанное на фиг. 350 пунктиром. Этот переход может быть вызван, например, небольшим статическим увеличением dP приложенной силы. Тогда уменьшение потенциальной энергии независимых внешних сил будет измеряться их работой:

d[Jp=dAp = Y dP da, + Pda,P da,. С другой стороны,

СМ (x)dx J 2EJ

Но так как

М(х) = ~70 = ~/У

(ось у направлена в сторону выпуклости балки, см. § 109), то

= f (yydx== f4x)dx.

==yyУdx==fЦx)d

При переходе балки во второе положение, т. е. при изменении обобщённой координаты а, на da получаем:

dU = da, = а, da EJ {х) dx.

изгибающих моментов и поперечных сил в тех сечениях балки, где эти величины заранее известны. Определённым условиям должны удовлетворять как сама функш1я у, так и её производные. Например, изогнутую ось балки, изображённой на фиг. 350, можно представить, направляя положительную ось у вниз, в виде синусоиды:

у = а, sin (22.1)

это уравнение удовлетворяет условиям на опорах Л и В. Действительно, в этих сечениях прогибы и изгибающие моменты равны нулю, а углы поворотов и поперечные силы не обращаются в нуль, т. е.