Вырежем из балки прямоугольного сечения (или составленного из прямоугольников) на расстоянии л: от начала координат и на расстоянии z от нейтральной оси (фиг. 342, а) малый элемент размерами dx, dz, b(z). По боковым граням элемента будут действовать, кроме нормальных, касательные напряжения

Q{x)S{z) Jb{z)

Потенциальная энергия сдвига для этого элемента выразится формулой (таблица 22)

[b{z)dzi]dx 1 ......

2Hz)dzG =-b(z)dxdz.

Энергия в элементе балки длиной dx и высотой Л будет равна f 1 2А/ч 1 Q{x)dx iS{z)dz

Интегрирование производится по z, и пределы интеграла надо взять такими, чтобы охватить всё сечение.

Выражение это можно представить в несколько ином виде, умножая и деля его на площадь сечения балки F\

Q(x)dx F С Sz)dz kQHx)dx Q- 2GF л] b{z) - 2GF

где через k обозначено отвлечённое число, зависящее только от формы и размеров сечения балки, равное

Приравнивая значения dUq и dAp, получаем:

kQ4x)dx 1 , , 2GF tQWIqN

Отсюда

Q(x)dx \dyQ\-k .

Знак прогиба dyQ определится тем, что (фиг. 342, б) при переходе от левого сечения к правому {dx > 0) и при положительной поперечной силе Q {х) относительный прогиб dyq отрицателен, если направлять ось у вверх. Значит,

dyQ=--dx. (21.26)

Полный прогиб любого сечения с абсциссой х получаем, интегрируя (21.26)

yQ--dx + C, (21.26)

Постоянная интегрирования Cq зависит от устройства опор балки. Так как Q{x)=z-, то

>Q = - + Cg, (21.27)

§ 1321

ПРОГИБЫ БАЛОК ОТ ДЕЙСТВИЯ ПОПЕРЕЧНОЙ СИЛЫ

т. е. Прогибы балки от действия поперечной силы пропорциональны ординатам эпюры изгибающих моментов с обратным знаком; ординаты отсчитываются от определённой оси абсцисс.

Величина k может быть опреде.1ена для- каждого вида поперечного сечения балки. Для Прямоугольника

Тогда

F Г (z) dz 9 Г

IA 6

Применим полученные результаты к определению прогибов балки длиной /, защемлённой левым концом в точке А и нагружённой на свободном конце В сосредоточенной силой Р.

Располагая начало координат в точке Л, получаем:

М{х)

- Р(1 - х) hj/q -+ --HCq.

6 PI

При jc = 0 прогиб j;q = 0; следовательно, Q=~§Qp* Прогиб yq равен

бРх

Наибольший прогиб будет на конце балки в точке В (при х = 1)

Полный прогиб точки в

рр 6 р/

SEJ 5 GF

Р1 SEJ

\SEJ

Так как для прямоугольника = [2

10/2 Q

Принимая отношение равным для металлов у, а для дерева 20, получаем:

РЯ SEJ

/ -Г 4 /2

(металлы), (дерево).

Таким образом, дополнительный прогиб, вызванный поперечной сплои, / Л \

зависит от -г- ; поэтому для сравнительно коротких балок, особенно де-

h \

ревянных, он может достигнуть большой величины. Так, при у = - для

дерева

= 1,375, т. е. прогиб от поперечной силы составляет 37,о%

от прогиба, вызванного изгибающими моментами.

Надо отметить, что в ряде курсов величина коэффищ1ента k считается равной 1,5, а не 1,2 (для прямоугольного сечения). Это получается, если

предположить, что прогибы балки от поперечной силы определяются величиной относительного сдвига у нейтрального слоя, что неверно.

-777.

§ 133. Примеры.

Пример 90. Найти вертикальное f и горизонтальное А перемещения, а также поворот в сечения А стержня ABC (фиг. 343). Момент инерщ1и J во всех сечениях одинаков.

Для определения / надо дифференцировать потенциальную энергию по силе Р\ для вычисления Д и 9 надо это дифференцирование производить соответственно по горизонтальной добавочной силе и добавочному моменту ЛГд. При вычислении изгибающих моментов стержень надо разделить на два участка; отсчёт абсцисс показан на чертеже.

Величины /, Д и 0 определяются формулами:

Фиг. 343.

JMi dx EJ 6Р

dx dMi [ Mtdx dMi.

EJ dP

A - -

Ml dx dMi EJ dP,

r Ma dx dMi,

,dU С Ml dx аМд EJ

EJ сМд

EJ dPj,

EJ dMj,

Вычисляем изгибающие моменты и их производные:

Mi = -P.vi -Мд; Л12 = -Рй - Мд -РдЛ-2.

Mi дР дМ,

дМ, дМ

= - Л.

дР, дМ. dMn