С M,dx дМ, Г

J EJ дМ] EJ дМ о о

первый интеграл равен нулю, и

с= (1- <+-)+1.

Искомый угол поворота является суммой двух слагаемых - одного, вызванного силой Р и направленного по часовой стрелке (против направления М), и второго, определяемого моментом М и направленного против часовой стрелки.

§ 128. Приём введения добавочной силы.

Возьмём балку пролётом /, защемлённую концом А и нагружённую силой Р на свободном конце В. Найдём угол поворота сечения В.

Непосредственно применить теорему Кастильяно нельзя, так как в этом сечении нет обобщённой силы, соответствующей углу поворота,нет пары сил. Для того чтобы решить задачу.

приложим в точке В дополнительно пару сил (фиг. 334), направленную как угодно, хотя бы против часовой стрелки. При такой нагрузке мы можем найти угол поворота сечения В при помощи теоремы Кастильяно. ф 33.

Этот угол выразится формулой, состоящей из двух слагаемых - одного,

зависящего от Р, а другого - от Л4д. Эта формула будет верна при любых числовых значениях Р и Л4д, в том числе и при Лд = 0; поэтому, полагая

Здесь Ml и Мз - изгибающие моменты для сечений первого и второго участков. Пределы интегрирования можно будет установить лишь после того, как мы решим, от каких точек отсчитывать координату х каждого сечения для того или другого участков.

Для первого участка возьмём произвольное сечение на расстоянии х от конца В балки. Изгибающий момент в этом сечении равен:

пределы интегрирования для этого участка будут О и 1 - а.

При вычислении изгибающего момента в сечении второго участка можно продолжать отсчитывать х от точки В] тогда

м,==-рх + м и = +1;

пределы интегрирования будут / - д и /. Но гораздо проще начать отсчитывать X для второго участка с тем расчётом, чтобы нижний предел интегрирования был бы нуль, - это упростит вычисления. Очевидно, за начало отсчётов тогда надо взять начало второго участка - точку С. В этом случае мы имеем:

М, = Р(х + 1а) + М и = +1.

Пределами интегрирования будут Она,

Останавливаясь на втором варианте, получаем:

Midx dMi , Г M.dx дМ,

в полученном выражении 7Ид = 0, получим значение угла поворота, вызванного лишь силой Р. Проведём это вычисление:

Mdx дМ

EJ аМд

м = + Мд-Рх и ==+1;

пределы интегрирования О и /; тогда

h{M-Px){-\)dx;

(21.17)

можно было бы Произвести интегрирование, и в полученном результате положить Мд равным нулю. Однако результат не изменится, если мы приравняем Мд нулю уже в формуле (12.17). Дополнительная сила нужна нам только для вычисления частной производной от изгибающего момента по этой дополнительной силе; после этого её можно положить равной нулю. Таким образом, угол поворота сечения В от силы Р равен:

Знак минус показывает, что этот поворот происходит против направления пары Мд, т. е. по часовой стрелке.

При вычислении прогиба такого сечения балки, где нет сосредоточенной силы, следует подобным же образом приложить в этом сечении добавочную

силу Рд и после составления формулы для Прогиба дать этой силе частное значение, равное нулю.

Найдём прогиб конца В консоли балки, изображённой на фиг. 335. Балка нагружена равномерно распределённой нагрузкой. Для вычисления Прогиба точки В приложим в этом сечении дополнительную силу Рд. Балка имеет два участка: первый ВС и второй СЛ. Поэтому прогиб точки В представится суммой двух интегралов:

Фиг. 335.

M,dx дМ, EJ дР,

Реакции балки равны:

л=-рд4+

д(1 + а) (1-а) 21

EJ дР,

а д{1-а)

Б = Рд

а + / , q{l + af

При определении реакции никогда не следует забывать о добавочной силе. Мы решаем усложнённую задачу, где добавочная сила должна учитываться так же, как и все активные силы.

Отсчёт координаты х для обоих участков показан на фиг. 335.

§ 129]

ТЕОРЕМА О ВЗАИМНОСТИ РАБОТ

Для первого участка имеем;

41 п дм.

пределы интегрирования: л: = 0 и х = а. Для второго участка

пределы интегрирования: л: = О и л: = /. Тогда

(-Px-]{-x)dx +

=--г л:;

21 2

Полагая Рд = О, получаем:

J 2 - J L 2/2

Первое из слагаемых отражает влияние деформаций консоли, второе же - междуопорной части.

§ 129- Теорема о взаимности работ.

Пользуясь понятием о потенциальной энергии, можно установить следующую зависимость между деформациями в различных сечениях балки.

Если к балке, нагружённой силой Р, приложить затем ста-

Фиг. 336.

тически силу Р в сечении 2, то к прогибу точки приложения силы Pj от этой же силы yl прибавится (фиг. 336) прогиб от силы Ра, равный у, первый значок у буквы у указывает точку, Для которой вычисляется прогиб; второй - обозначает силу, вызывающую этот прогиб.