С {X) dx - J 2EJ

Изгибающий момент является линейной функцией нагрузок Р, Р2, Ml, Ма, qy приложенных к балке:

M(x) = aiPi4-a22 + ...+ *ii + ... + W, в этом легко убедиться, просмотрев формулы для вычисления изгибающих моментов при построении эпюр (§§ 72, 73); следовательно, потенциальная энергия является функцией второй степени от независимых внешних нагрузок.

Вычислим частную производную от U по одной из внешних сил, например Р. Получаем:

ди д дР, - дР,

(х) dx 2EJ

Полученный результат можно обобш.ить. Пусть на балку, помимо сосредоточенных сил Р, действуют в разных сечениях еидё пары сил

М (фиг. 330). Мы можем повторить предыдущие рассуждения, считая, что балка переводится из положения / в положение путём добавки dMi к паре Ml. Весь ход рассуждений остаётся без изменений, надо будет лишь при Фиг. 330. вычислении работы моментов Mi,

Мсу ... умножать их не на прогибы, а на углы поворота Oj, ... тех сечений, где эти пары приложены. Тогда dU будет равно -щ-ь станет dMiB, и формула (21.13) примет вид:

Так как - это перемещение, соответствующее силе Pj, а - перемещение, соответствующее силе THj, то полученные нами результаты можно формулировать так: производная потенциальной энергии деформации по одной из независимых внешних сил равна перемещению, соответствующему этой силе. Это и есть так называемая теорема Кастильяно, опубликованная в 1875 г.

Заметим, что присутствие на балке сплошной нагрузки не меняет предыдущих выводов, так как всякую сплошную нагрузку можно рассматривать как состоящую из большого числа сосредоточенных сил.

Предыдущий вывод был сделан для балки, но совершенно ясно, что его можно повторить для любой конструкции, деформации которой следуют закону Гука.

Для случая изгиба нами была получена формула, связывающая величину потенциальной энергии U с изгибающими моментами:

а угол поворота сечения с парой Alj

dU С M(x)dx дМ{х) -дР,-] ~Ю дРГ

ния с парой All . dU M(x)dx дМ(х)

EJ ~ЩГ -

Напомним, что знак предела / условно показывает, что интеграл должен быть распространён на всю длину балки.

§ 127. Примеры приложения теоремы Кастильяно.

Определим (фиг. 331) прогиб свободного конца В балки, защемлённой другим концом А. Балка нагружена сосредоточенной силой, приложенной в точке В. В данном случае возможно непосредственное применение теоремы Кастильяно, так

как отыскивается прогиб сечения, где приложена уу S

сосредоточенная сила Р

М {X) dx дМ (х) EJ дР Начало отсчёта абсциссы х сечения можно

ди С

= 5Р J

Фиг. 331.

выбирать произвольно, лишь бы формула для М (х) была возможно проще. Отсчитывая х от точки В, получаем для момента в любом сечении балки

, >г, ч г. дМ (х) Л1(д:) = ~Рл: и =

Подставляя эти значения в формулу для и интегрируя, чтобы охватить всю длину балки от О до /, получаем:

С i-Px)dx Р Г 9 , Р/

Получилась уже известная нам формула с той лишь разницей, что уд оказался положительным. Мы определили перемещение, соответствующее той силе, по которой производилось дифференцирование. Соответствие заключается в том, что произведение из силы на соответствующее перемещение даёт нам работу. Если перемещение имеет знак плюс, то работа будет тоже положительна, а это зтчит, что направления перемещения и силы совпадают. Если же прогиб или поворот сечения получаются со знаком минус, то ия направление противоположно направлению соответствующей силы. Таким образом, в этой задаче прогиб точки В направлен вниз.

Здесь мы имеем дело с так называемым дифференцированием определённого интеграла по параметру, так как М(х) - функция и и х; интегрирование производится по х, а дифференцирование - по параметру Р. Как известно, если пределы интеграла постоянны, то следует просто дифференцировать подинтегральную функцию.

Таким образом, прогиб в точке приложения сосредоточенной силы Pi равен:

Рассмотрим пример, где для вычисления М(х) необходимо определение реакций.

Найдем угол поворота опорного сечения В балки на двух опорах пролётом / (фиг. 332), нагружённой парой сил М в этом опорном сечении и равномерно распределённой нагрузкой q.

Искомый угол поворота равен:

п ди С М (х) dx дМ{х) ~ дМ ] EJ дМ Изгибающий момент (фиг. 332) определяется уравнением

М{х) = -{-Ах - -

При нахождении производной от М{х) по М надо в формуле для М{х) оставить лишь независимые внешние силы которые и учитываются теоремой

Y-a-I

Фиг. 332.

Фиг. 333.

Кастильяно. Поэтому реакция А обязательно должна быть выражена через М и , в противном случае легко впасть в ошибку и при дифференцировании упустить из вида, что А - функция от М, Реакция равна:

тогда

Производная будет

2 /

M(.)=.f.--f

дМ {х) дМ

Пределы интегрирования определяются тем, что формула изгибающего момента годится на протяжении всей балки. Искомый угол поворота равен: I

дМ~ 3 EJ

2 2

f = 24Е/

В тех случаях, когда изгибающий момент на разных участках балки выражается различными функциями от х, необходимо и интегрирование разбить по участкам. Перемещение будет выражаться суммой интегралов, число которых равно числу участков балки. При решении подобных задач существенным является вопрос о назначении пределов интегрирования.

Возьмём в качестве примера балку длиной /, защемлённую одним концом (фиг. 333) и нагружённую моментом М в точке С на расстоянии а от оиоры и силой Р на свободном конце В. Найдём угол поворота сечения С.

Точка приложения момента М делит балку на два участка: первый ВС и второй АС. Поэтому угол поворота сечения С будет равен:

-дм-]

Ml dx дМг EJ оМ

Mdx dMa EJ дМ