гию деформации может только другой вид энергии; как правило, это - потенциальная энергия внешних нагрузок. Величина же работы, производимой при этом переходе внешними силами, является лишь числовой мерой превратившейся части энергии.

§ 125. Вычисление потенциальной энергии.

А. При вычислении потенциальной энергии мы будем предполагать, что деформации не только материала, но и всей конструкции, следуя закону Гука, пропорциональны нагрузкам, т. е. линейно с ними связаны и растут постепенно вместе с ними.

Мы знаем (§ 11), что при статическом растяжении или сжатии стержня силами Р величина работы Ар, а следовательно, и величина энергии и равняется:

U=Ap = ~PLl = = -

В случае сдвига (§ 54)

При кручении (§ 62)

(21.4)

(21.5)

(21.6)

Так же как и при кручении, может быть вычислена потенциальная энергия при чистом изгибе.

Концевые сечения балки под действием изгибающих моментов

(фиг. 323) повернутся на угол = у где ср - центральный угол

изогнувшейся по дуге радиусом р оси балки. Тогда

9

Фиг. 323.

(У Лр -(21.7)

таккакср = у, а у = (13.10)(см. § 78).

Из формул (21.4) - (21.7) следует, что потенциальная энергия деформации равна половине произведения силы или пары сил на перемещение по её направлению того сечения, где эта сила приложена. Условимся называть термином обобщённая сила всякую нагрузку, вызывающую соответствующее нагрузке перемещение, т. е. и сосредоточенную силу, и пару сил, и т. п.; перемещение же, соответствующее этой силе, будем называть обобщённой координатой .

Соответствие заключается в том, что речь идёт о перемещении того сечения, где приложена рассматриваемая сила, причём о таком

перемещении, что произведение его на эту силу даёт нам величину работы; для сосредоточенной силы это будет линейное перемещение по направлению действия силы - прогиб, удлинение; для пары сил - это угол поворота сечения по направлению действия пары.

Теперь мы можем формулы (21.4) - (21.7) обобщить; потен-щшльная энергия деформации численно равна половине произведения обобщённой силы на соответствующую ей координату:

(21.8)

где Р - обобщённая сила, 8 - обобщённая координата.

Формулы (21.4) - (21.7) показывают, что потенциальная энергия является функцией второй степени от независимых внешних сил, так как в эти формулы не входят реакции, зависящие от приложенных к элементу сил и связанные с ними уравнениями равновесия. Из тех же формул видно, что величина потенциальной энергии деформации является функцией второй степени от обобщённых координат системы и вполне ими определяется. Таким образом, порядок приложения нагрузок в этом отношении безразличен, важна лишь окончательная форма деформированного элемента. Поэтому, хотя результаты этого параграфа получены в предположении, что нагрузка возрастает статически, при сохранении равновесия в течение всего процесса нагружения, однако выведенные формулы сохраняют силу и при любом способе приложения нагрузок, лишь бы значения сил и деформаций были связаны линейной зависимостью и относились к тому моменту, когда установится равновесие конструкции.

Б. В общем случае изгиба изгибающий момент М{х) является величиной переменной. В любом сечении ему будет сопутствовать поперечная сила Q{x). Поэтому рассматривать следует уже не всю балку в целом, а лишь бесконечно малый элемент балки длиной dx.

0 Ог

i) И (XL

д \1

Под действием изгибающих усилий сечения элемента поворачиваются и образуют между собой угол db (фиг. 324,6). Касательные же усилия стремятся вызвать (фиг. 324, в) перекос элемента; таким

образом перемещения от нормальных напряжений идут перпендикулярно к направлению касательных напряжений, и наоборот. Это позволяет независимо вычислять работу изгибающих и касательных усилий.

Обычно работа касательных усилий оказывается малой по сравнению с работой нормальных, поэтому мы пока ею будем пренебрегать. Элементарная работа нормальных усилий (как и в случае чистого

Рд изгиба) равна:

dAp= dU=\M (дг) db =

= 1Ж()(21.9)

Фиг. 325.

МЦх) dx

(21.9)

Вся потенциальная энергия изгиба получится суммированием по длине балки

Знак предела интегрирования условно указывает, что интегрирование должно охватить всю балку; в тех случаях, когда для м(х) мы имеем несколько участков, интеграл (21.9) приходится разбивать на сумму интегралов.

Вычислим потенциальную энергию балки на двух опорах, нагружённой силой Р (фиг. 325). Эпюра моментов имеет два участка; поэтому

П- с Щх , г Mldx

QEJI

В. Зная величину потенциальной энергии и пользуясь тем, что из внешних сил только сила Р совершает работу при деформации балки, можем найти величину прогиба под этой силой из следующих зависимостей;

1 гг гг РаЧ 2

откуда

РаЧ* ЗЕЛ