РаЬ 5000 . 70 . 50 . г,ггл Мгпах = - =-f20-== 14о 500 кгсм.

Диаметры d участков вала и соответствующие моменты инерции -gj- имеют следующие значения:

Участки Диаметр Момент инерции

см см

0 16 3217

1 14 1886

2 12 1018

3 10 491

Ордината эпюры моментов, соответствующая переходу от участка с диаметром IQ см к участку с диаметром 14 см, равна Mi = Axi=s = 2100 50= 105 ООО кгсм] после преобразования она будет равна

4917

105 ООО . = 180 ООО кгсм.

Подобным же образом преобразуются все прочие граничные ординаты. Части полученной грузовой площади заменены сосредоточенными силами; далее известным уже образом построен верёвочный многоугольник, изображающий изогнутую ось вала.

шего, за основную, преобразовать эпюру моментов и для неб построить верёвочный многоугольник с полюсным расстояниОхМ (§ 120), равным

H=-j . Ординаты построенного обычным порядком многоугольника

изобразят прогибы нашей балки.

Метод преобразования эпюры особенно удобен, если сечение балки меняется ступенчатым образом, а не непрерывно. Применим этот способ к построению изогнутой оси вала, рассмотренного в предыдущем параграфе. Построение показано на фиг. 321. Эпюра моментов имеет вид треугольника с наибольшей ординатой, равной

ОТДЕЛ VII.

ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ И СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ БАЛКИ.

ГЛАВА XXI.

ПРИМЕНЕНИЕ ПОНЯТИЯ О ПОТЕНЦИАЛЬНОЙ ЭНЕРГИИ К ОПРЕДЕЛЕНИЮ ДЕФОРМАЦИЙ.

§ 124. Постановка вопроса.

Кроме рассмотренных способов вычисления прогибов и углов поворота сечений балок существует более общий метод, пригодный для определения деформаций любых упругих конструкций. Он основан на применении закона сохранения энергии.

При статическом растяжении или сжатии упругого стержня происходит превращение потенциальной энергии из одного вида в другой; часть потенциальной энергии действующего на стержень груза полностью переходит в потенциальную энергию деформации стержня. Действительно, если мы будем нагружать стержень путём постепенного подвешивания к его нижнему концу очень малых грузов dP (фиг. 322), то при добавлении каждого такого груза подвешенная уже часть нагрузки опустится и её потенциальная энергия уменьшится, а потенциальная энергия деформации стержня соответственно увеличится.

Это явление имеет место при любом виде деформации всякой упругой конструкции при статической нагрузке; такую конструкцию можно рассматривать как своеобраз-ную машину, преобразующую один вид потенциальной энергии в другой. Фиг. 322. jyy условились (§ 2) называть статической такую нагрузку, которая возрастает постепенно и таким образом, что ускорениями элементов конструкции можно пренебречь; передача давлений (сил) от одной части конструкции на другую не меняет характера движения этих частей, т. е. их скорость остаётся постоянной и ускорение отсутствует.

При этих условиях деформация конструкции не будет сопровождаться изменением кинетической энергии системы, и будет иметь место лишь преобразование потенциальной энергии из одного вида в другой. При этом мы пренебрегаем магнитными, электрическими и тепловыми явлениями, сопровождающими упругие статические деформации тела лишь в очень слабой мере.

Так как характер движения всех элехментов конструкции с течением времени не меняется, то в каждый момент времени будет иметь место равновесие как для каждой части конструкции в целом под действием внешних сил и реакций, так и для каждого элемента этой части под действием внешних сил и напряжений, приложенных к этому элементу. Деформации конструкции, напряжения в её частях и реакции, передающиеся от одной части на другую, успевают следовать за ростом нагрузки.

Таким образом, можно сказать, что полное преобразование одного вида потенциальной энергии в другой имеет место, если деформация происходит без нарушения равновесия системы. Мерой энергии, превратившейся в другой вид, является величина работы, произведённой силами, действующими на конструкцию.

Обозначим величину накопленной потенциальной энергии деформации через и, а уменьшение потенциальной энергии внешних нагрузок Up, Тогда величина Up иЗхмеряется положительной работой этих нагрузок Ар, с другой стороны, накоплению потенциальной энергии деформации U соответствует отрицательная работа внутренних, междучастичных сил А, так как перемещения точек тела при деформации происходят в обратном по отношению к внутренним силам направлении.

Закон сохранения энергии при деформациях упругих систем принимает вид:

f/p=; (21.1)

заменяя в этой формуле величины Up и U численно равными им значениями работ Ар и -А, получаем иную формулировку этого закона:

Ар= - А или Лр4-Л = 0. (21.2)

Эта формулировка закона сохранения энергии совпадает с так называемым началом возможных перемещений в применении к упругим системам; равенство (21.2) выражает ту мысль, что при перемещениях без нарушения равновесия сумма работ всех сил, приложенных к точкам тела, равна нулю.

Таким образом, начало возможных перемещений в применении к упругим системам является следствием закона сохранения энергии.

Из формулы (21.1) следует, что потенциальная энергия деформации и численно равна работе внешних сил Ар, проделанной ими при этой деформации:

и=Ар, (21.3)

Совершенно неправильным является истолкование этого равенства, иногда встречающееся в учебниках по строительной механике: работа внешних сил при деформации стержня переходит в потенциальную энергию деформации ; переходить в потенциальную энер-