Если бы мы всю балку сделали постоянного сечения с моментом инерции J, то наибольи1ий прогиб был бы

у max- зу,

т. е. В л у раза меньше.

Таким образом, балки переменного сечения обладают большей гибкостью по сравнению с балками постоянной жёсткости при одинаковой с ними прочности. Именно поэтому, а не только ради экономии материала, они и применяются в таких конструкциях, как рессоры.

Уравнение (20.7) показывает, что в рассмотренном примере кривизна балки постоянна, т. е. ось балки должна изогнуться по дуге круга. Между тем в результате интегрирования мы получили уравнение параболы; предлагаем учаш,имся объяснить, почему это произошло.

Применение графо-аналитического метода определения деформаций к балкам переменного сечения также не представляет затруднений. Вместо того чтобы для вычислений / и 6 делить на жёсткость EJ изгибающий момент и поперечную силу в фиктивной балке,

можно за фиктивную нагрузку принять

Р f эпюру моментов для основной балки, раз-

- делив её ординаты на EJ. Тогда

Обобщая этот способ на балки переменного сечения, полагаем

гттпт

Фиг. 317.

М{х) . - EJ{x)

загружаем этой нагрузкой фиктивную балку и получаем искомые

прогибы и углы поворота как изгибающие моменты и поперечные

силы в сечениях фиктивной балки.

о Для рассмотренного выше примера qf =

Pxl Pi

= - = - g7> т. е. фиктивная балка

должна быть загружена сплошной уже не треугольной, а равномерно распределённой нагрузкой (фиг. 317). Прогиб сечения В, равный изгибающему моменту в защемлении фиктивной балки, выразится формулой

Фиг. 318.

г 4fl Pl

Тот же результат мы получили бы, предполагая, что наша балка имеет постоянную жёсткость EJ, а её эпюра изгибающих моментов преобразована путём умножения каждой ординаты на отношение

EJ ,

EJ{x)

преобразованная эпюра моментов имела бы ординаты

-Рх,=-Рх = -Р1

EJ {х) tJx

(фиг. 318); тогда по общему правилу графо-аналитического метода

Таким образом, определение прогибов балки переменного сечения можно привести к той же операции для балки постоянной

жёсткости, но с преобразованной умножением на /(Л эпюрой моментов.

Пример 88. Определить графо-аналитически прогиб под грузом Р для балки, свободно лежащей на двух опорах и нагружённой посредине пролёта / сосредоточенным грузом Р (фиг. 319, а). Момент инерции сечений

левой половины балки равен У, правой -у- Преобразуем эпюру моментов

(фиг. 319, , умножая ординаты правой половины на отношение У: У/2 = 2;

Фиг. 319.

фиктивная балка с преобразованной нагрузкой изображена на фиг. 319, е. Левая фиктивная реакция равна

1 Pi L A L± ?i L L - f 242*3 + 2223~ 12

фиктивный изгибающий момент в сечении С и прогиб точки С соответственно будут:

\ I Р1 I Р1 , Р1 Р/ .

- / 2 + 22*46~ 24 + 96

/с=-

Пример 89. Определить прогиб балки, защемлённой одним концом и загружённой сосредоточенной силой на другом конце (фиг, 320, а). Одна половина балки имеет сечение больших размеров, причём

Л > Л.

Преобразуя эпюру изгибающего момента М(х) (фиг. 320, б) в фиктивную нагрузку, мы должны ординаты левой части эпюры увеличить в ~- раз

(фиг. 320, в).

-o=7lW

Ь=5С0

прогиб под силой Р определится следующим подсчётом

2 3

Этот же приём следует использовать при применении графического построения изогнутой оси балки переменного сечения. Надо выбрать жёсткость EJ одного из сечений балки, обычно наиболь-