§ 120. Графический метод построения изогнутой оси балки.

В предыдущем параграфе мы получили зависимость (19.3):

EJ

из которой следует, что ординаты изогнутой оси основной балки пропорциональны ординатам эпюры моментов фиктивной балки; эта эпюра непосредственно представляет в некотором масштабе изогнутую ось. Таким образом, задача определения прогибов основной балки может быть сведена к построению эпюры изгибающего момента фиктивной балки, т. е. к графическому решению.

Возьмем балку АВ (фиг. 308) пролёсом /, защемленную концом и нагруженную на другом парой сил М. Вычертим ее с соблюдением-линейного масштаба: в 1 см чертежа п см балки.

Эпюра изгибающего момента изобразится в виде прямоугольника с положительной ординатой Ж; принимаем эпюру за фиктивную нагрузку. Фиктивная балка будет иметь в точке Л свободный конец и в точке В - защемленный.

Для графического построения эпюры фиктивного момента заменяем равномерно распределенную нагрузку фиктивной балки

мерно распределённая нагрузка лежит по всей длине балки. Возможный вид эпюры изгибающих моментов показан на фиг. 307, б. Заменяем эту зпюру её составляющими: от нагрузки д на пролёте / (фиг. 307, в) и от нагрузки q на консоли а (фиг. 307, г). Ординаты двух последних эпюр могут быть легко подсчитаны или взяты из ранее решённых задач или из справочника. Характерные ординаты надписаны на фиг. 307, в, г. На фиг. 307, д показана фиктивная балка. Выделим фиктивную балку ВС: на неё действуют давление Bf

от подвесной балки АВ и нагрузка параболой с наибольшей ординатой

(фиг. 307, е).

Из рассмотрения фиктивной балки АВ, взяв сумму моментов всех фиктивных сил относительно опоры Л, находим (фиг. 307, ж), что

о 2 I qa , \ ql 1 ql

/ = 3-2-- --2- 12- = 6--24-

Возвращаясь к схеме фиг. 307, е, вычисляем:

/c = - ,-i-f-. = -b-+f-?.

Искомые деформации в сечении С будут:

§ 120] ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ИЗОГНУТОЙ оси БАЛКИ 385

Фиг. 308.

четырьмя равными сосредоточенными фиктивными силами, приложенными в центрах тяжести соответствующих грузовых площадей. Все эти силы cdj, ш, >з 4 будут равны \тмг\ каждая.

Выбрав, как будет указано ниже, полюс О, построим многоугольник сил и верёвочный MHoroyrOwib-ник (фиг. 308).

Ранее (§ 76) было доказано, что М = = Я- т], где Я -полюсное расстояние, отложенное в масштабе сил, а tj - ордината верёвочного многоугольника, измеренная в масштабе балки (в масштабе длин).

Так как это справедливо и для балки, загружённой фиктивной нагрузкой, то, сохраняя приведённые только что обозначения, имеем

С другой стороны, нам известно, что

Mf = EJf.

Отсюда - если бы можно было в масштабе фиктивных сил отложить H=EJ, то прогиб действительной балки / равнялся бы ординате верёвочного многоугольника т], измеренной в масштабе балки.

Но так как EJ обычно велико по сравнению с фиктивными силами, то выполнить построение многоугольника сил в одинаковом масштабе по вертикали (где отложены со, щ, )з,...) и по горизонтали (где откладываем Н) нельзя. Полюс оказался бы очень удалённым от линии сил о) и прогибы вышли бы на чертеже очень

малыми. Поэтому принимают Я=-, где k - любое положительное целое число, выбираемое по только что указанным соображе-

ниям удобства построения. Отсюда следует, что Ж/= т], а прогиб f=j- .

Следовательно, если отложить в том же масштабе, в каком отложены 0)1, (0.2, (Оз,..., то ордината верёвочного многоугольника tj, измеренная в масштабе балки, даст увеличенную в k раз величину прогиба/.

Если же принять n = k, то прогибы изобразятся в натуральную величину.

В приведённом на фиг. 308 построении видим, что многоугольник сил замкнут, верёвочный же многоугольник не замкнут; эю

означает, что заданные силы cdj, щ, ... уравновешиваются фиктивной опорной реакцией в заш.емлении В (причём R = ii>) и фиктивным опорным моментом. Первый луч построения, проведённый до пересечения с линией действия ш, является замыкающим лучом: он пересекается также и с линией действия силы и представляет прямую ось балки, а крайний левый его участок и лучи 2, 3, 4у 5 дают верёвочную ломаную линию, стремящуюся при дроблении сил О) в пределе к изогнутой оси балки.

Предположим, что / == 4 лг, Л1 = 4 гж, [а] = 1400 кг см-, £ = 2 10 лгг/сж-. Необходимый момент сопротивления будет

400 ООО 3

= 286 см\

1400

примем для расчёта двутавр № 24:7 = 3460 слг W~2Ш см.

При делении балки на четыре равные части получаем (фиг. 308):

(Oj = (Og = (Од = (0 = 4 тм.

Вычертим балку в масштабе l:/z= 1:100; длина балки изобразится отрезком в 4 сж; /г примем равным 100:

= 6,92 тм\ k

выберем масштаб в

Для изображения многоугольника сил \ см - 2 тм.

Каждая сила (о изобразится отрезком в 2 см, а полюсное расстояние

/У = -отрезком 3,46 см. После построения верёвочного многоугольника

ордината тг;, измеренная в сечении В, даёт прогиб / в натуральную величину (в данном примере к; =/=4,6 см, что предлагается проверить построением).

Фиг. 309.

Рассмотрим в качестве второго примера балку на двух опорах А \\ В z произвольной нагрузкой (фиг. 309).