§ 117]

ГРАФО-АНАЛИТИЧВСКЙЙ МЕТОД

ГЛАВА XIX.

ГРАФО-АНАЛИТИЧЕСКИЙ И ГРАФИЧЕСКИЙ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ДЕФОРМАЦИЙ ПРИ ИЗГИБЕ.

§ 117. Графо-аналитический метод.

Метод интегрирования дифференциального уравнения изогнутой оси даёт уравнения прогибов и уравнения углов поворота, при помощи которых можно вычислить прогиб и угол поворота в любом сечении балки.

Когда мы имеем дело с большим числом участков, а также в случае сложной нагрузки, вычисления при применении этого способа делаются достаточно громоздкими. В этих случаях наиболее удобным может оказаться графический способ.

С другой стороны, при решении целого ряда задач (статически неопределимые балки, вычисление наибольшего прогиба) достаточно уметь найти прогиб и угол поворота лишь для некоторых определённых сечений. В этих случаях уместно применение графо-аналп-тического метода. Этот способ основан на сходстве дифференциальных зависимостей, связывающих прогиб, изгибающий момент и интенсивность сплошной нагрузки.

.Пусть мы имеем какую угодно балку с произвольной нагрузкой

41

Фиг. 296.

(фиг. 296). Дифференциальным балки является (§ 109):

уравнением изогнутой оси этой

(19Д)

Под нашей балкой изобразим вторую балку той же длины, на-гружённую некоторой, пока неизвестной, сплошной нагрузкой q, положительное направление которой принято вверх; устройство опор этой балки тоже оставим пока неопределённым; отметим лишь, что опорные реакции будут уравновешивать нагрузку qf. Эту вторую балку назовём воображаемой, фиктивной; все величины, относящиеся к ней, будем обозначать значком /. Для этой воображаемой балки вычислим величину изгибающего момента Mf в каждом сечении тоже путём интегрирования, пользуясь

в = &. (19.4)

Прогиб сечения действительной балки (от заданной нагрузки) равен изгибающему моменту в том же сечении фиктивной балки

Фиг. 297. (от фиктивной нагрузки), делённому на жёст-

кость действительной балки. Угол поворота действительной балки (от заданной нагрузки) равен поперечной силе в том же сечении фиктивной балки (от фиктивной нагрузки), делённой на жёсткость действительной балки.

В аналитическом способе определения деформаций произвольные постоянные находились по условиям на границах, т. е. по условиям равенства нулю прогибов в опорных сечениях и равенства деформаций между собой в сечениях, общих для двух смежных участков балки.

В рассматриваемом способе добиться равенства между собой произвольных постоянных при интегрировании уравнений (19.1) и (19.2) можно путём такого закрепления концов (или промежуточных сечений) фиктивной балки, которое удовлетворяло бы еле-

дифференциальным уравнением, связывающим изгибающий момент и интенсивность сплошной нагрузки (§ 116):

Проведём сопоставление уравнений (19.1) и (19.2). Если принять

т. е. загрузить фиктивную балку фиктивной нагрузкой, меняющейся по закону изгибающего момента действительной балки, то

{EJy) dmf dx* ~ dx

Если при интегрировании обеих сторон уравнения добиться равенства произвольных постоянных левой и правой частей уравнения, т. е. Сл = Сп и Djt = Dt то получим:

? Щ d(EJy) dMf ,

4-~

* EJy = Mf.

Учитывая, что j=Qf и решая эти выражения относительно у и 6, получим формулы:

У=, (19.3)

§ 117]

графо-аналитический метод

дующим условиям, непосредственно вытекающим из выражений (19.3) и (19.4):

1) если прогиб действительной балки / равен нулю, то в том же сечении фиктивной балки фиктивный изгибающий момент должен быть равен нулю;

2) если угол поворота действительной балки 9 равен нулю, то в том же сечении фиктивной балки фиктивная поперечная сила должна быть равна нулю;

3) если прогиб или угол поворота действительной балки не равен нулю, то соответствующие им Mf или также не должны быть равны нулю.

В таблице 22 приводятся условия для всех случаев опирания действительной балки с указанием соответствующих этим условиям закреплений тех же сечений фиктивной балки. Действительная и фиктивная балки, связанные условиями этой таблицы, называются сопряжёнными. На фиг. 297 для наиболее распространённых стати-

Таблица 22. Условия образования фиктивных балок.