EJy = -

Fix* , Рлг

[18.10] [18ЛГ]

21 31 ~ 2 Деформации на конце балки под силой Р при х = 1

V - - fL. б - - f!L

3EJ Р~ 2£У

Рассмотрим балку на двух опорах, загружённую сплошь равномерно распределённой нагрузкой интенсивностью q (фиг. 285). В этом случае j/ = 0, а 9о определится из условия, что при х - 1 у = 0. Уравнение прогибов будет:

откуда при Х=:1

в - IP

Подставим полученное значение в, в уравнение прогибов;

X , qlx* qx*

Найдём теперь прогиб / посредине пролёта при x = ~i

J- 48 96 384 5

Уравнение прогибов:

[18.9]

Применим эти уравнения к нахождению прогиба и угла поворота балки, защемлённой одним концом и загружённой силой Р на другом конце (фиг. 282). Учитывая, что jo = 0; о = 0; q = 0 и рассматривая силы, расположенные слева, т. е. опорный момент М = - Р1 и реакцию Л = Р, получим вместо уравнений (1.10) и (18.11)

На I

Фиг. 291.

§ 114. Интегрирование дифференциального уравнения для случая балки с шарниром.

В предыдущих примерах участки при составлении уравнения изогнутой оси соответствовали участкам эпюры изгибающих моментов.

При нарушении непрерывности оси балки шарниром для интегрирования уравнения оси участок с шарниром придётся разделить на два, хотя выражение для изгибающего момента по обе стороны

от шарнира будет одним и тем же. В шарнире должны быть равны между собой лишь прогибы соединяемых ча-Q X стей; углы же поворота сечений, примы-кающих к шарниру, будут различны. - Поэтому уравнение изогнутой оси будет различным для участков балки, разделённых шарниром.

Рассмотрим балку, изображённую на фиг. 291; в сечении С помещён шарнир; для простоты вычислений нагрузим балку только парой сил М в сечении 5. Реакцию В легко определить, приравняв нулю сумму моментов относительно шарнира С всех сил, расположенных

справа от шарнира (т. е. сил В и Ж). Получим 5 = у.

Реакция А определится из суммы проекций на вертикаль всех сил, действующих на балку АСВ (т. е. сил А и В). Получим А = ~. Реактивный момент равен сумме моментов относительно точки А сил М и В:

Начало координат выберем в точке Л. Изгибающий момент

в любом сечении балки iйeждy Л и В выражается формулой

../ч М М М / \ Mix) = jx-ja = j{x - ay

Для получения же уравнения изогнутой оси надо рассмотреть JXB3 участка АС и СВ. Дифференциальные уравнения и их интегралы имеют вид:

Первый участок

а: ах \ , {-Г Г) +

Второй участок

-1 CaJC + Za.

§ 114]

УРАВНЕНИЕ ДЛЯ СЛУЧАЯ БАЛКИ С ШАРНИРОМ

У\=Уъ

Для определения постоянных интегрирования HivieeM четыре условия: сечение А при лг = 0 величина

С у> х = а

В : х = а-\-1

Из первых двух получаем:

Ci = 0; D, = 0.

Из двух последних

Т \-6---2 ) = Т (-6-2 J + +

{a + iy а{а±[1

+ С,(а + /)4-/), = 0.

Отсюда

Af(fl + /)M/ + 2fl)

2- Л/2

M(a + /)2 (/ -2fi)e

При этих условиях прогибы обеих частей балки в шарнире одинаковы, углы же поворота отличаются на величину Сз.

При решении этой задачи общим уравнением поступаем так. В начале

координат = 00 = 0; Мо = - Л1 у и = = . В месте стыка I и II уча-

стков происходит разрыв непрерывности (скачок) для угла поворота, который обозначаем в. Тогда по (18.9) для. II участка получаем: 1

32 =

Т-2- + Т б-

+ вс(- );

для следует отбросить последний член правой части. Назначая А: = / + а и = О (условие на правой опоре), получаем для 6 выражение, совпадающее с Сг.

Пример 78. Для балки, показанной на фиг. 292, наметить решение задачи по определению прогибов.

Балка имеет шесть участков, и, следовательно, при решении задачи по определению деформаций мы получим 12 произвольных постоянных. Нетрудно проследить, что сече-

) й(У) (Ь %

вел

Фиг. 292.

Г G

ния раздела нагрузки, опоры и шарниры дадут нам необходимые 12 уравнений. Защемлённый конец А даёт два уравнения: прогиб равен нулю и угол поворота равен нyлfD. Шар-нирно-опёртый конец G - одно уравнение: прогиб равен нулю. Шарниры В и D по одному

уравнению: прогибы левого и правого участков в сечениях шарниров равны между собой.

Сечения раздела нагрузки (сечение С, где обрывается распределённая нагрузка, и сечение где приложена сосредоточенная сила Р) дадут по два уравнения: прогибы левого и правого участков в этих сечениях равны между собой, и углы поворота тех же участков равны между собой. Шарнирная