Для отыскания наибольшего значения прогиба надо найти сечение, в котором 6=0; по симметрии это будет среднее сечение; при подстановке

в формулу (18.27) значения = ~ угол в = § обращается в нуль; при

этом

-max

384ЕУ

(18.29)

Наибольшие значения 6 получаются для опорных сечений при д: = 0 и л- = /:

е 2AEJ

(18.30)

И в этом примере при определении произвольных постоянных интегрирования мы устанавливаем, что -gj- есть прогиб балки в начале коорди-

нат, а - угол поворота опорного сечения Л, совпадающего с началом координат.

Подберём сечение прокатной балки и определим величину её деформаций при следующих условиях: = 2 т/ ог. ж; / = 4 м\ [а] = 1400 кг/см; сечение-двутавровое; E=:2-W KZJCM. Так как наибольший изгибающий момент равен

как и в примере §110, то опять пригодна балка М2 24; для неё У7 = 289 сж и 7 = 3460 см\

5.20. 4*. 108

fmax

= - 0,96 СМ,

384-2.10 . 3460

20.4-10 1 24 2 . 10 . 3460 *130

радиана.

Во всех рассмотренных примерах, если мы направляем ось у вверх, а ось X вправо, то отрицательное значение 6 соответствует вращению сечения по часовой стрелке, положительное- против часовой стрелки.

Пример 76. Разберём ещё один случай вычисления деформаций для балки, свободно лежащей на двух опорах с пролётом /. Нагрузим эту балку парой сил М, приложенной к правому опорному сечению (фиг. 286). Реакции Л и 5 образуют пару с моментом М и равны

Фиг. 286.

Расположим начало координат на левой опоре; тогда получим

dx~ 1-2

Г + С, -

EJy = + Cx + D.

Постоянные интегрирования определяются из равенство нулю прогибов на опорах А и В:

при л: = О прогиб у = 0, откуда D = 0;

> JC = /

Таким образом,

3> = О, откуда С =--g- .

. dy Ml dx QEJ Mix

X /2

Сечению с наибольшим прогибом соответствует -- = О, поэтому

1-3=0;

абсцисса этого сечения Xq равна

дго = -7= = 0,577/.

Наибольший прогиб равен

6 Y3EJ

прогиб же посредине пролёта равен . Ml 1 ~Т2Е

gySEJ 15,6ЯУ

\QEJ

Разница с наибольшим прогибом составляет всего 2,5о; таким образом, даже при таком резко несимметричном случае нагрузки за наибольший прогиб для балки на двух опорах можно с достаточной точностью принимать прогиб посредине пролёта,

§ 112. Интегрирование дифференциального уравнения изогнутой ОСИ балки при двух участках.

Если изгибающий момент на различных участках балки выражается различными формулами, приходится составлять столько дифференциальных уравнений, сколько участков на балке.

Возьмём балку на двух опорах пролётом /, нагружённой силой Р на расстоянии а от левого и от правого конца; пусть аЬ

(фиг. 287). Опорные реакции балки равны

Яд=0, А =

РЬ I

Ра I

- / -

Начало координат возьмём на левой И-

опоре и ось X направим вправо.

Изгибающие моменты на первом Фиг. 287.

и втором участках будут выражаться

различными формулами; поэтому придётся взять два произвольных сечения с абсциссами Xi и х и написать два дифференциальных

условий, выражающих

уравнения. Величины у, С, D и абсциссу сечения будем помечать индексом 1 для первого участка и индексом 2 для второго.

При составлении выражения моментов для обоих участков будем рассматривать левую часть балки; тогда для сечения Ох на первом участке:

Ml = Ллг, = у Xi;

для второго же участка (сечение О):

М = Ах - Р{х - а) = х - Р(х - а).

Интегрирование слагаемых вида Р(х - а) будет производить, не раскрывая скобок, как это сделано в примере 74. При этих условиях вычисления располагаются следующим образом:

Первый участок EJy! = Mi = Axi\ EJy{ = Xi;

(18.31)

(18.32)

Второй участок EJyi = М= AXi - P (л:, - a); EJy 2 = Xi-Pix-a);

-Я + С; (18.33) + + (18.34)

В выражения для прогибов и углов поворота вошли четыре постоянных интегрирования, вдвое больше, чем число участков. Для определения этих постоянных надо написать четыре уравнения. Эти уравнения всегда можно составить, как и в предыдущих случаях, рассматривая сечения балки, для которых нам что-либо известно о прогибе и угле поворота. Такими сечениями в рассматриваемой задаче являются: сечение раздела между первым и вторым участками - сечение С и опорные сечения Л и 5.

Сечение С, расположенное на границе двух участков, может быть отнесено как к первому, так и ко второму из них. Поэтому величину прогиба и угла поворота сечения С можно вычислить как из формул для первого участка, так и из формул для второго:

т. е. при Хх = х-=а\

полученные величины для у и 6 должны быть одинаковы, т. е. у=уг и 61 = 62 или

= £7У2; {а)

EJyi = EJy<i.