не зависит от расположения координатных осей; 2 > О знак же второй производной - зависит.

При направлении оси у вверх в уравне-

НИИ (18.6) следует оставить знак а при

направлении вниз знак -.

Условимся в дальнейшем всегда ось у на-

---- правлять вверх и дифференциальное уравне-

2<0 ние (18.6) писать в виде

Фиг. 281. £У = М(д:). (18.7)

Знак изгибающего момента при этом будем ставить по прежним правилам.

Для получения из дифференциального уравнения изогнутой оси уравнения прогибов y=f{x) необходимо произвести интегрирование уравнения (18.7). Выражение для М{х) является функцией от х\ поэтому, интегрируя, получаем:

./= jAl(Ar)rfjc + C;

интегрируя второй раз, имеем

£Уу = J (/лг J Ж (лг) (/лг-f Слг-f D.

Таким образом, мы получили уравнение углов поворота:

И уравнение прогибов:

>, = -i[J dx J Ж(лг)(/лг + Слг + д] . (18.9)

В эти уравнения входят постоянные интегрирования С и D. Порядок вычисления этих постоянных будет показан на примерах.

очень малая величина, квадратом которой можно пренебречь по сравнению с единицей; тогда уравнение (18.5) упрощается:

±S- = 4r- ±EJMix). (18.6)

Это уравнение называется приближённым дифференциальным уравнением изогнутой оси балки.

Правило знаков для изгибающего момента установлено независимо от направления координатных осей, вторая же производная, как известно, положительна, если в сторону поло- жительной оси у обращена вогнутость кривой, и отрицательна,-если вбт:л;лос/иб (фиг. 281).

Таким образом, знак изгибающего момента М {х)

EJ-M{x);

Фиг. 282.

для вычисления изгибающего момента

возьмём произвольное сечение на расстоянии х от начала координат; изгибающий момент в этом сечении равен М{х) = - Я (/ - х). Тогда

Ejy = - P{i - x).

Это уравнение интегрируем два раза:

EJy = -p{lx-+C. (18.10)

EJy = -p(J-+Cx-{-a (18.11)

Для определения С и D отыщем в балке сечения, для которых мы заранее знаем величины прогиба и угла поворота. Таким является опорное сечение А; для него при х = 0

у = 0; 9 = =у = 0.

Подставляя эти значения сначала в уравнение (18.10), а затем * (18.11), получаем:

Прежде чем перейти к практическим примерам, необходимо ещё раз подчеркнуть, что уравнение (18.7) является приближённым; та

ошибка, которую мы допустили, пренебрегая величиной (j по

сравнению с единицей, практически мала только в тех случаях, когда деформации балок малы по сравнению с их размерами. Если же это условие не соблюдено и углы поворота сечений балок таковы, что квадратом их величины нельзя пренебречь по сравнению с единицей, то приходится обращаться к интегрированию уже полного уравнения (18.5).

Такие случаи могут быть при изучении деформаций тонких пружин, тонкой фанеры, вообще при изгибе гибких балок.

§ 110. Интегрирование дифференциального уравнения изогнутой оси балки, защемлённой одним концом.

Пример 73. Рассмотреть балку, защемлённую концом А и нагружённую на другом конце силой Р (фиг. 282); пролёт балки назовём /, жёсткость EJ: Начало координат назначим в точке А\ ось у направим вверх, ось х - вправо. Напишем дифференциальное уравнение изогнутой оси (18.7):

) dy Plx ~ dx ~ 2EJ

(18.12) (18.13)

Пользуясь этими выражениями, найдём наибольшие значения для у и б; так как инженера интересует наибольшее по абсолютной величине значение прогиба, то следует отыскивать как аналитический максимум функции у при б = -=0, так и наибольшее её

значение на границе участка. В нашем примере наибольшего по абсолютной величине значения у достигает в точке В, где б не равно нулю.

Прогибы, вычисляемые в отдельных точках, будем обозначать буквой / с индексом, указывающим место прогиба. Для рассматриваемого случая в точке В при х = 1

=-W- (18.14)

Знак минус означает, что прогиб направлен вниз. Наибольший угол поворота будет, очевидно, в том же сечении; он равен

05= -

2EJ

(18.15)

Знак минус означает, что сечение повернулось по часовой стрелке.

Для того чтобы оценить числовую величину деформаций балки, возьмём Р= 2 Ту 1=2 м, допускаемое напряжение [а] = 1400 kzjcm и подберём сечение двутавровой балки по сортаменту. Условие прочности имеет вид:

[а] - 1400 -

Как ВИДНО из уравнений углов поворота и прогибов, произвольные постоянные Си/), делённые на жёсткость балки EJ, дают значения соответственного угла поворота и прогиба сечения балки в начале координат. Постоянные С и D - именованные числа, с размерностью: С - [сила X Длина] и D - [сила X Длина].

Постоянные интегрирования обратились в нуль, что является следствием выбора начала координат в защемлённом сечении балки. При построении эпюр мы отсчитывали абсциссу х от нагружённого конца балки; здесь оказывается более выгодным для уменьшения вычислений при определении С и D отсчитывать х от защемлённого конца, что несколько усложняет выражение для изгибающего момента, но облегчает нахождение деформаций.

Определив постоянные С и D, мы можем преобразовать выражения для у ц д таким образом, чтобы в скобках остались лишь отвлечённые числа, это упрощает в дальнейшем вычисления прогибов и углов поворота. Производим преобразования: