Главные напряжения равны: 1

= у[ К + 4т2]==-1[-22±: /22 + 4. 1PJ = + 4,6

={12б;б}/-

Для определения направления главных напряжений изобразим выделенный у рассматриваемой точки элемент материала и построим круг напряжений.

-Инг/см б)

Фиг. 236.

На фиг. 236, в линия BD соответствует направлению напряжения j. Величина угла о определяется формулой

ltg =

= W2 = P =2-392= а=6Г15. § 96. Центр изгиба.

При изучении случая плоского изгиба балок мы предполагали, что все внешние силы лежат в одной из главных плоскостей инерции балки. Возьмём

балку, имеющую симметричное сечение (например, прямоугольник), и посмотрим, что будет, если мы нагрузим её силами, лежащими в плоскости, параллельной главной плоскости симметрии (фиг. 237). Пусть для этой балки сила Р будет приложена к концу стержня OiO, лежащего в плоскости торца балки и с ним скреплённого. Прикладывая в центре тяжести торцевого сечения О две равные и прямо ]Г противоположные силы Р, мы видим, что балка будет изгибаться в плоскости главной оси Oz силой Р, однажды перечеркнутой на чертеже, и скручиваться парой сил с моментом Р 0x0, Здесь мы будем иметь случай совместного действия плоского изгиба и кручения. Для того чтобы избежать кручения, которому балка такого сечения, как вытянутый прямоугольник, сопротивляется плохо, в рассматриваемом случае необходимо приложить силу Р в точке О, в плоскости симметрии сечения Oz. Опыт показывает, что, действительно, при загрузке балки симметричного сечения силами в плоскости симметрии кручения не происходит; балка испытывает плоский изгиб.

Несколько иначе будет обстоять дело, если мы нагрузим балку сосредоточенной силой В плоскости главной оси. не являющейся осью симметрии.

Фиг. 237.

§ 96]

ЦЕНТР ИЗГИБА

Пример такой нагрузки для балки швеллерного (корытного) сечения изображён на фиг. 238. Опыт показывает, что хотя сила Р лежит в главной плоскости Oz, однако балка не только изгибается, но и скручивается (фиг. 239).

Фиг. 23S.

Фиг. 239.

/У /

Наблюдающееся на опыте явление не только изгиба, но и скручивания показывает, что при этой нагрузке касательные напряжения, вызванные изгибом, складываются в равнодействующую (?, уже не лежащую в плоскости xOz, а ей параллельную. Значит, при изгибе рассматриваемой балки

помимо напряжений т= \\ возникают ещё ка-

кие-то касательные напряжения. Выясним величину и распределение этих напряжений.

Рассмотрим балку корытного сечения, закреплённую одним концом и расположенную так, что стенка её вертикальна. Нагрузим её на другом конце вертикальной же силой Р (фиг. 240), расположенной в главной центральной плоскости сечения. Выделим из этой балки сечениями 1-1 и 2-2 элемент длиной dx. Он изображён на фиг. 241, там же показаны размеры поперечного сечения. Отрежем

Фиг. 240.

Фиг. 242-

сечением 5-5, параллельным оси балки, часть верхней полки этого швеллера и рассмотрим равновесие отрезанной части. Она изображена на фиг. 242.

По Граням AiBiCiDi и A2B2C2D2 этого элемента действуют нормальные напряжения с, в нашем случае растягивающие; величина их зависит от изгибающих моментов М uM-\-dM в сечениях 7 - 7 и 2 - 2. Сумма нормальных усилий по площади A2B2C2D2 больше суммы действующей по площади AiBiCiDu поэтому для равновесия выделенного элемента полки должны возникнуть касательные напряжения по площади D1A1A2D2. Сумма напряжений т должна уравновешивать разность нормальных усилий, т. е.

dx = N2 - N..

Обозначим среднее значение нормального напряжения, действующего по площадке торца полки A2B2C2D2, т. е. напряжение в точках £ 0, через с , а соответствующее среднее напряжение в точках Ei сечения AiBiCiDi - через с (фиг. 242). Тогда

где величина напряжения с равна M+dM h

Следовательно,

~ J 2

M + dM h ,

Подобным же образом

М h

Отсюда

Tjdx=N2 - Mi

dM h

Фиг. 243.

dM h

Qhy 27

(15.18)

По свойству парности касательных напряжений наличие т по площадке A1A2D2D1 сейчас же влечёт за собой появление такого же по величине и обратного по знаку касательного напряжения в точках у ребра АО по площадке АВСО (фиг. 242). (Надо помнить, что масштаб чертежа искажён: отрезок DiDidx очень мал, а отрезок АВу - конечная величина.)

Таким образом, по сечению 2 - 2 в точках верхней полки будут действовать горизонтально направленные касательные напряжения т, меняющиеся по закону прямой в зависимости от у (фиг. 243):

Подобным же образом можно показать, что такие же напряжения, обратного направления, будут действовать в точках нижней полки.

Касательные напряжения действующие на каждую полку, дадут в сумме равнодействующее усилие Ти которое можно вычислить так. Сила, действующая на заштрихованную площадку t dy, равна (фиг. 243):

dT,=Ttdy = jytdy;