02 = 0,

Формулы для ci и Оз могут быть сведены в одну:

-4т]. (15.13)

Построение и вычисление мы провели, когда и о и х положительны. При отрицательном значении того или иного из этих напряжений следует изменить его знак в формулах (15.13). Соответственное изменение построений пришлось бы сделать и при графическом определении и Од с помощью круга напряжений.

Имея величину всех трёх главных напряжений, мы можем составить расчётные условия по всем теориям прочности.

По первой теории - наибольших нормальных напряжений:

ai<[a] или а = 1[а+1/а + 4т2]<[а]. (15.14) По второй теории - наибольших относительных удлинений:

Подставляя значения Oj, о, 03, находим:

Y (в + + 4т* ) -1 Vo + 4х )J <[о].

Принимая (Л = 0,3, получаем:

02 = [0,35а + 0,65 Уа-\-41] < [о]. (15.15)

По третьей теории - наибольших касательных напряжений: [а1-аз]<[а], или [а +1/а + - а +/а + 4т [а]; окончательно

а,з = /а2 + 4т<[а]. (15.16)

Наконец, по четвёртой теории - наибольшей потенциальной энергии изменения формы:

[( 1 - + (о, - + (03 - о,) ] 2 [с]\

откуда

Пользуясь данными в § 38 формулами (7.13), получим:

После преобразований получаем:

[о + 3. ] < [a] а = 1/а+Зт <[а].

(15.17)

Теперь надо выяснить, в каких точках балки следует производить проверку прочности на главные напряжения.

Так как расчётное напряжение зависит и от о и от т, то проверке подлежит тот элемент материала балки, для которого о и х будут одновременно возможно

:х

Фиг. 229.

ббльшими; это осуществимо при наличии, скажем, двух таких условий:

1) изгибающий момент и поперечная сила достигают наибольшей величины в одном и том же сечении;

2) ширина балки резко меняется вблизи краёв сечения (например, в двутавре или пустотелом прямоугольном профиле); эпюры напряжений для таких профилей (фиг. 229) показывают, что на уровне перехода от полки к стенке (точки а и Ь) касательные и нормальные напряжения имеют величину, близкую к максимальной.

Указанные два условия, таким образом, определяют и необходимость дополнительной проверки прочности, и тот элемент, для которого эта проверка должна быть сделана; может случиться, что эти условия не имеют места; тогда ограничиваются выбором нескольких точек, могущих дать наиболее высокие значе-

ния о. Что же касается выбора расчётной формулы, то наиболее правильным было бы применить теорию наибольшей потенциальной энергии (15.17).

На практике, однако, при расчёте балок до сих пор сохранилось применение теории наибольших нормальных напряжений (15.14), дающей часто более экономичные размеры.

Фиг. 230.

Пример 67. Балка АВ (фиг. 230), лежащая на двух опорах, нагружена симметрично расположенными силами Я = 6,4 г, отстоящими от опор на в = 50 см\ допускаемое напряжение [а] = 1400 кг/см. Подобрать двутавровое сечение и проверить прочность материала у места перехода от полки к стенке.

Наибольшие значения М и Q будут в одном сечении - под 1рузом:

<?шах = = в,4 Г.

= Ра = 0,5. 6,4 = 3,2 im,

Подбираем сечение:

320000

= 229 см\

1400

Надо взять двутавровую балку №22; W = 232 см; J =2550см*. Размеры поперечного сечения балки показаны схематично на фиг. 231. При выбран-

ном профиле

320000

232

= 1380 кг1см\

Дополнительная проверка прочности должна быть сделана при 2=10,13 см,

320000.10,13

-2550 21\ кг1смК

Статический момент равен

5(2)= 11.0,87.10,565= 101 см\

Касательные напряжения 6400.101

Фиг. 231.

0,54 . 2550

= 469 1сг1смК

Условие прочности по первой теории прочности (15.14):

~ [1271 + )/127Р + 4.469 ] = 1426 лгг/сл > 1400 кг1смК Условие прочности по четвёртой теории прочности (15.17):

У 12712 + 3.469 = 1510 кг/см > 1400 кг1см\

Так как расчётные напряжения по четвёртой теории прочности на 8% превышают допускаемые напряжения, размер сечения следует увеличить, приняв двутавр № 22а. Для этого профиля после пересчёта получим: а,п 1260 кг/см и при 2 = 10,11 а= 1158 кг/см и т: = 482 кг1см\ Расчётные напряжения: по первой теории прочности ai = 329 кг1см и по четвёртой теории прочности а = 1423 кг/см.

§ 95. Направления главных напряжений.

В предыдущем параграфе мы определили лишь величину главных напряжений для произвольно взятого элемента балки и не интересовались их направлением. С точки зрения проверки прочности материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию, полученных результатов было достаточно. Для таких же материалов, как железобетон, крайне существенно знать направления растягивающих напряжений в каждой точке, чтобы в этом направлении расположить стержни арматуры.

Определение положения главных напряжений может быть сделано при помощи кругл напряжений (фиг. 232). Пусть в рассматриваемом