2 . 2000

= 141,4 кг/см\

Пример 66. Определить для уровня аЬ нормальные и касательные напряжения в балке пустотелого профиля, загружённой в проверяемом сечении изгибающим моментом Л1=1,2 тм и поперечной силой Q = 4 г. Плоскость действия М и Q - xOz. Форма поперечного сечения балки представлена на фиг. 225.

Момент инерции сечения

8 . 14

12 4 . 2

4 . \0\ 4 . 2

12 12 ~ (2.7 -5 + 1)= 1500 см\

Статический момент части сечения, лежащей выше уровня аЬ, где можно ожидать значительных нормальных и касательных напряжений (при ;г: = 5 см), равен

S(z) = 2 . 8(5+1) = 9б смК

Ширину сечения b(z) следует принять равной сумме толщин двух стенок

(2) = 2 + 2 = 4сж.

Напряжения по уровню аЬ будут:

Mz 120000 . 5 Уу 1500

QS (Z) 4000 . 96

= 400 кг/см\ - = 64 кг/см.

Jyb {z) 1500 . 4

§ 94. Проверка прочности по главным напряжениям.

В предыдущем изложении были введены две проверки прочности материала балки при изгибе - по нормальным (13.15) и касательным (15.7) напряжениям:

Ошах=-<[а], (13.15)

?maxmax

(15.7)

Выясним, прочность каких эле1ментов балки мы проверяем по этим формулам.

Таким образом,

9 . 2rlt Q 0

тах - 2t . Tzrlt Tzrot Tzdt

Наибольшее касательное напряжение для кольцевого сечения в два раза больше среднего; напомним, что для прямоугольника это соотношение равно 1,5, а для сплошного круга 1,33;

На месте,

фиг. 226 показана часть где расположены сечения с

Фиг. 226.

фасада изучаемой балки в том наибольшим изгибающим маментом и наибольшей поперечной силой. На чертеже изображены элементы, прочность которых мы проверяем по условиям (13.15), (15.7). Первое относится к элементам, расположенным у верхнего и нижнего краев сечения с ЛГтах- Эти элементы подвергаются простому растяжению или сжатию. Второе условие прочности (15.7) относится к элементу, расположенному у нейтрального слоя в сечении с Qmax, - этот элемент испытывает чистый сдвиг.

Таким образОхМ, производя принятую в обычной практике расчёта проверку прочности по наибольшим нормальным и касательным напряжениям, мы на самом деле проверяем прочность материала балки лишь в трёх указанных на фиг. 226 элементах.

Нет никакой уверенности, вообще говоря, в том, что эти три элемента находятся в наиболее опасном состоянии. Поэтому мы должны научиться проверять прочность каждого элемента балки, взятого в любом сечении на любом расстоянии z от нейтральной оси. Только тогда мы сумеем среди этих элементов разыскать наиболее напряжённый и сможем проверить его прочность.

Возьмём какой-нибудь элемент материала (фиг. 226) в произвольном сечении на расстоянии z от нейтрального слоя. На этот элемент

будут действовать нормальное напряжение о по граням, перпендику-.(5-лярным к оси балки, и касательные напряжения т по всем четырём боковым граням. Фасадные грани элемента будут свободны от напряжений (фиг. 227).

Напряжения опт выразятся следующими формулами:

QS(z)

~ Jb

(15.12)

где М - изгибающий момент и Q - поперечная сила в том сечении, где мы выделили элемент.

Возьмём случай, когда опт положительны. Так как этот элемент подвергается сложному напряжённому состоянию, то для его

Проверки придётся применить теории прочности; вычисления надо начать с нахождения главных напряжений.

Так как по фасадной грани ABCD элемента (фиг. 227) и по параллельным ей не действуют касательные напряжения, то это будет одна из главных площадок; так как по ней отсутствуют и нормальные напряжения, то соответствующее ей главное напряжение равно нулю. Таким образом, мы имеем дело с плоским напряжённым состоянием.

Нам теперь нужно найти оставшиеся два главных напряжения, зная нормальные и касательные напряжения по двум взаимно перпендикулярным площадкам, параллельным и перпендикулярным к оси балки (фиг. 226). Подобную задачу мы уже решали в § 38 путём построения круга напряжений. Там этот приём был применён к более общему случаю напряжённого состояния, когда по двум взаимно перпендикулярным площадкам с нормалями аир действовали напряжения о, о, т, Ср = - т. Условимся теперь относить значок а к грани нашего элемента, перпендикулярной к оси балки, а р - к грани, параллельной этой оси (фиг. 228).

Фиг. 228.

Отложим от точки о в положительном направлении величину о, = о - отрезок О/Г; на перпендикуляре к оси о в точке отложим вверх отрезок KD, равный х. Точка D лежит на круге напряжений, соответствует площадке, перпендикулярной к оси балки.

Для площадки, параллельной оси балки, 0 = 0; значит, точка /Ср совпадает с точкой О. Отрезок KD, отложенный вниз, изобразит касательное напряжение х = - х и даст вторую точку круга Ь-. Соединяя их, получаем центр круга - точку С-и радиусы Си и CDp. Построение круга даёт нам отрезки OA и 05, изображающие искомые главные напряжения. Из чертежа ясно, что эти напряжения - разных знаков. Поэтому нумерация главных напряжений должна быть выбрана такой: