Кокригинг

Кокригинг может быть использован при наличии нескольких пере-менн1х. Точнхе формуле! кокригинга приведен! в работах: Journel и Huijbregts (1978, стр. 324), Isaaks и Srivastava (1989, стр. 400), Cressie (1991, стр. 138), Goovaerts (1997, стр. 224), и Chiles и Delfiner (1999, стр. 298). Ординарн1й кокригинг, простой кокригинг и универсальный кокригинг допускают использование моделей, учитывающих ошибку измерений, как и соответствующие им модели кригинга. Так же, как и индикаторный кокригинг, вероятностный кокригинг и дизъюнктивнхй кокригинг могут выполнять только жестью интерполяцию (т.е., ошибка измерений не фильтруется).

Ординарный, простой и универсальный кокригинг

Модель универсального кокригинга является наиболее общей, поэтому предположим, что

Z>j (s)= [Xk(s)]Pk + Y-(s) + nk(s) + Sj (s),

где Xk - предполагаемая матрица, и Pk - вектор параметров для переменной к-ого типа, со следующими допущениями:

Yk (s) - сглаженн1й второго порядка стационарный процесс, радиус влияния вариограммы которого больше, чем наименьшее расстояние между опорными точками.

E((s)) = 0.

Cov(yk(s), (s+h)) = C(h), при этом C(ro) = 0 (т.е., отсутствует дополнительный эффект самородка в процессе

Yk(s)).

(s) - сглаженнхй второго порядка стационарнхй процесс, радиус влияния вариограммы которого так близок к нулю 0, что он меньше всех фактических расстояний между опорными точками и точками, для которых интерполируются значения.

E(nk(s)) = 0.

Cov(nk(s), nm(s+h)) = Cnm(ro), когда k равно m,

при этом Cn (h) = 0. Cov(nk(s), nm(s+h)) = 0, когда k не равно m.

(s) шумы, образуемые ошибками измерений.

E (S (s) ) = 0, для всех к и j.

Cov(s), (s + h)= если h = 0; в противном случае, она равна 0.

CovS (s) dtk(s+h)) = 0 для i, не равных t.

Yk( ), n(), and dm( ) независимы друг от друга для всех к, /, и m. Предположим, что в данном случае эффект самородка vi состоит из двух частей: вариации на микроуровне и ошибки измерений; то есть, v = Cnkk(0) + а. Также обратите внимание, что для nk () и nm ( ) нет общей информации, поэтому их взаимную ковариацию можно установить, равной 0. На основании этой модели вы можете прийти к выводу, что Cov(Zk (s),Zm(s + h)) =

C;- (h)

if if if if

к m к = m and h 0 : m and h = 0 and j t

m and h = 0 and j = t

Для упрощения, рассмотрим только два типа переменных; выводы легко обобщить для большего количества типов переменных. Вгчислим отфильтрованную (без шумов) величину 51(s0) = [x1(s0)]P1 + Y1(s0) + n1(s0) в точке s0. Кокригинг в модуле Geostatistical Analyst получается для линейного интерполятора,

.(s 0) = л1г1 + л2г 2

затем минимизируем,

E(Z(s0) - [ л;г1 + л2г 2])2 .

Выполнив те же операции, что и для ординарного кригинга, получаем следующие уравнения кокригинга:

т1и m2 - множители Лагранжа, - ковариационная матрица для данных zk и zm, а ck равно Cov( zk, 51( 80)). Решив уравнение для X, получим,

X = Zz-1(c - Xm) , где m = (X £z-1X) -1(X Zz-1c - x1(80)).

Подставив X, получим среднеквадратичную ошибку интерполяции,

E(51(80) - Xz)2 = C 1(0) + Cn (0) - X(c +Xm), = C (0) + (1 - n1) v1 - X (c +Xm), следовательно, стандартные ошибки интерполяции равны:

rfEs1(s 0) = Cy1(0) + (1 -1 )V1 - лЧс + Xm) ,

Если

10 01

тогда ординарный кокригинг сводится к особому случаю универсального кокригинга. Для простого кригинга,

#1 (S о ) = Xz + k = c£z-1(z - ц) + ц1(80),

а стандартные ошибки интерполяции вычисляются по форму-

S1(s 0 ) = Cy1 (0) + (1 )v1 - c У, c

Интерполяция новых значений для перекрестной проверки может быть выполнена так же, как и для ординарного, простого и универсального кригинга.

Индикаторный, вероятностный и дизъюнктивный кокригинг

Индикаторный, вероятностный и дизъюнктивный кокригинг относятся к нелинейным методам, и только жесткая форма (т.е., ошибка измерений не отфильтровывается) ординарного кокри-гинга может быть использована для этих методов. Индикаторный кокригинг - это просто кокригинг для индикаторов; обратитесь к работам: Cressie (1993, стр. 283), Goovaerts (1997, стр. 297), и Chiles и Delfiner (1999, стр. 386). Вероятностный кокригинг, помимо использования исходных данных, формирует индикаторы для двух типов переменных, а затем пользуется уравнениями ординарного кокригинга. Дизъюнктивный кокригинг - это обобщение метода дизъюнктивного кригинга для двумерных Гауссовых распределений (Muge и Cabecadas, 1989; Chiles и Delfiner, 1999, стр. 419).

Диалог Перекрестная проверка Перекрестная проверка

Перекрестная проверка состоит в последовательном удалении из общей совокупности значения одной опорной точки, а затем интерполяции значения этой точки с использованием оставшихся данных. Затем, проинтерполированное значение может быть сопоставлено с фактическим (значением наблюдения) для оценки того, насколько хорошо работает модель интерполяции. Обратите внимание, что в геостатистике модели вариограммы, как правило, не оцениваются заново каждый раз, когда удаляется значение одной опорной точки. Более подробную информацию о выполнении перекрестной проверки вы можете получить в работах Isaaks и Srivastava (1989, стр. 351), Cressie (1993, стр. 101), Goovaerts (1997, стр. 105), Armstrong (1998, стр. 115), Chiles и Delfiner (1999, стр. 111), и Stein (1999, стр. 215).

Суммарная статистика перекрестной проверки

Суммарная статистика и графики могут быть получены при сравнении проинтерполированного значения с фактическим значением данных в ходе выполнения перекрестной проверки. Пусть Z€(si ) - проинтерполированное значение, полученное в результате перекрестной проверки, z(si) - фактическое значение, полученное в результате наблюдений, и c€(si ) - стандартная ошибка интерполяции для точки si. Тогда некоторые из значений суммарной статистики, представленной в модуле Geostatistical Analyst равны:

1. Средние ошибки интерполяции,

]Г (s,.) - z(si))

4. Средние нормированные ошибки интерполяции,

5. Среднеквадратичные нормированные ошибки интерполяции,

Xfes,.) - z (s, ))/C€(s,:

2. Среднеквадратичные ошибки интерполяции,

(s,) - z(si.))

3. Средняя стандартная ошибка кригинга,

i=1