Обратите внимание, что когда 80 = 8е D, вгчисленное значение и (80), как правило, la равно ни одному из значений наблюдений 2t(8); t< n. Подставляя X , получаем среднеквадратичную ошибку интерполяции,

E(Zu(80) - Xz)2 = = Cy(0) + C(0) + о2 - X(c +Xm), = Cy(0) + v - X(c +Xm), в результате, стандартные ошибки интерполяции равны: .C y (0 ) + v - л (c - Xm ) .

Эти ошибки необходимо сравнить со стандартными ошибками интерполяции для версии данных без шумов. Обратите внимание, что когда 80 = 8, для одной из точек наблюдений 8, е D, ни одна из стандартных ошибок интерполяции не будет равна 0.

Карты вероятности и квантилей

Если случайные ошибки подчиняются закону нормального распределения и обладают стационарностью (либо второго порядка, либо внутренней), то ошибки вгчислений (s0) SS(s0) тоже подчиняются закону нормального распределения, с нулевым средним значением и дисперсией, равной (i€S (s0) . Нормальность распределения позволяет строить карты вероятностей или квантилей.

Логарифмически нормальный линейный кригинг

Если вы впбираете логарифмическое преобразование, для ординарного, простого и универсального кригинга вы можете использовать логарифмически нормальный кригинг (или логнормаль-ный кригинг), который реализован в соответствии с описанием, приведенном в работе Кресси (Cressie, 1993). Формулы интерполяции приведены на следующих страницах:

Ординарнгй кригинг-уравнение 3.2.40, стр. 135 (Cressie, 1993)

Простой кригинг-второе уравнение на стр. 136 (Cressie, 1993)

Универсальный кригинг-Cressie (1993) уравнение 3.2.40 сводится к,

Ji, (Z; s ) = exp{ €y (Z; So) + (So)/ 2 - [x(s )]} где m - вектор из множителей Лагранжа из уравнений универсального кригинга, и x(s0) - вектор из ковариат в точке s0, для к оторой интерполируется з начение . Д исперсия в ьтчисления дана в работе Кресси (Cressie, 1993) в уравнении 3.2.41, где:

Для ординарного кригинга - Y меняется на:

= 1 Y /(1 1) ,

Для простого кригинга - Y известно,

Для универсального кригинга - Y меняется на:

1€€у (s о) = [x(s о)] (X YyX)-1X Уу1У

где вектор Y = log(Z), и предполагается, что каждый элемент вектора Y подчиняется нормальному распределению.

Трансгауссов кригинг

Если выбрано преобразование по методу Box-Cox или арксинуса, для ординарного, простого и универсального кригинга вы можете использовать трансгауссов кригинг, который реализован в соответствии с описанием, приведенном в работе Кресси (Cressie, 1993, стр. 137).

Индикаторный кригинг

Индикаторный кригинг - это нелинейный метод, и для индикаторов может быть применена только жесткая форма (т.е., с не-отфьтрованной ошибкой измерений) ординарного кригинга. Предположим, что данные относятся к пространственно коррелированному процессу,

Z(s) = ц + e(s),

и бинарная (0 или 1) вероятностная переменная образована с использованием порогового значения,

Z1(s) = I(Z(s) > С1),

где I (условие) - индикаторная функция, которая равна 1, если условие верно, и 0, если условие неверно. Предположим, что бинарные данные также относятся к пространственно коррелированному процессу (с возможнгм эффектом самородка),

Z1(s) = ц1 + e1(s).

Индикаторный кригинг - это ординарный кригинг (с нулевой ошибкой измерений) бинарнгх переменнгх Z1(s), и, следовательно, для Z( s) не предпринимается поппток фильтрации ошибок измерений. Может бпть использовано другое пороговое значение,

Z2(s) = I(Z(s) > С2),

для модели

Z2(s) = + e2(s).

Теперь воспользуемся кокригингом для обеих бинарнгх пере-меннгх для вгчисления значений Z1( s0). Теория и формулы приведены в работах Journel (1983), Isaaks и Srivastava (1989), Cressie (1993, стр. 281), Goovaerts (1997, стр. 293), и Chiles и Delfiner (1999, стр. 381).

Вероятностный кригинг

Как и индикаторный кригинг, вероятностный кригинг (Sullivan, 1984; Cressie, 1993, стр. 283; Goovaerts, 1997, стр. 301; Chiles и Delfiner, 1999, стр. 385) - это нелинейный метод, и при использовании вероятностного кригинга не существует очевиднгх способов для фильтрации ошибки измерений. Предположим, что полученные данные - это реализация пространственно коррелированного процесса, плюс независимые случайные ошибки,

Z(s) = ц + e(s),

и на основании порогового значения создана бинарная (0 или 1) вероятностная переменная,

Z1(s) = I(Z(s) > c),

где I (условие) - индикаторная функция, которая равна 1, если условие верно, и 0, если условие неверно. Предположим, что бинарные данные также относятся к пространственно коррелированному процессу (с возможнгм эффектом самородка),

Z1(s) = ц1 + е 1 (s).

Затем воспользуемся кокригингом для вгчисления Z1( s0) с использованием {Z1(s)} в качестве первой переменной и исходнгх значений {Z( s)} в качестве второй переменной в уравнениях кокригинга. Обратитесь за дополнительной информацией к разделу, посвященному кокригингу.

Дизъюнктивный кригинг

Для дизъюнктивного кригинга (Matheron, 1976), интерполятор выглядит следующим образом:

= Х g. (Z is)),

где gs(Z(s)) - некая функция переменной Z(s). Модуль Geostatistical Analyst использует следующий интерполятор,

lk (Y (So)) = tл Hk (Y is,)),

f. и - коэффициенты, Hk(Y(s.)) - многочлены Хермита (Hermite), а Y( s,) и Y( s,) подчиняются двумерному нормальному распределению. Переменная Y( s) может быть преобразована (т.е., дизъюнктивный кригинг может быть логнормальным и трансгауссовым) и позволяет пользователю изучить предположение о двумерной нормальности. Теория и практика дизъюнктивного кригинга довольно сложны; модуль Geostatistical Analyst следует методике, приведенной в работе Ривуарара (Rivoirard,

1994).

k >0