Простой кригинг

Здесь приведено сжатое онисание реализации простого кригинга в модуле Geostatistical Analyst. Чтобы понять, что представляет собой модель и какие делаются предположения, обратитесь к разделу, посвященному ординарному кригингу. Для простого кригинга одно предположение меняется на следующее:

(s) - известная, детерминистская средняя функция.

При ординарном же кригинге, необходимо интерполировать отфильтрованную (без шумов) величину 5 (s0) = (s0) + Г( s0) + (s0) в точке s0.

Интерполяция с ошибкой измерений

Простой кригинг с ошибкой измерений получается для линейного интерполятора,

(S0) = Xz + k затем минимизируем,

E (5(s0) - Xz - k)2 =Var[7(s0) + (s0) - Xz] + [(s0) - X [I -

где Ц - вектор из известнгх средних для всех полученнгх дан-н1х. Минимизация достигается при определении k = [(s0) -X\L и X = Ez-c, где Ez ковариационная матрица данных, и c равно Cov(z, Y(s0) + (s0)). Затем получаем интерполятор для простого kj€ игинга,

(So) = Xz + k = cEz (z - + [[(So).

Подставляем, чтобы получить среднеквадратичные ошибки интерполяции,

E(5(So) - Xz - k)2

= Cy(0) + C(0) - cEzc

= Cy(0) + (1 - Tt)v - cEzc ,

и стандартные ошибки интерполяции равны: s(so) = Cy(0) + (1 -n)v - ле

Вычисление нового значения для перекрестной проверки

При выполнении перекрестной проверки нежелательно интерполировать значения версии данных без шумов -наоборот, следует интерполировать значения с ошибкой измерений с тем, чтобы стандартные ошибки интерполяции отразили среднеквадратичную ошибку интерполяции, полученную при выполнении перекрестной проверки. Вгчисление нового значения выполняется для линейного интерполятора,

(So) = Xz + k,

затем минимизируем,

E(Z (So) - Xz - k )2.

Предположим, что если s0 = s. G D, то u > n.. Повторяя выполненные ранее операции, получаем интерполятор кригинга,

u(So) = Xz + k = cEz-1(z - + [(So) ,

со среднеквадратичными ошибками интерполяции,

E(Zu(So) - Xz - k )2

= Cy(0) + C(0) + o2 - cEz-1c

= C (0) + v + cE-1c ,

в результате, стандартные ошибки интерполяции равны:

dEz (so) = Cy(0) + v - ле .

Эти ошибки необходимо сравнить со стандартными ошибками интерполяции для версии данных без шумов. Обратите внимание, что когда s0 = S, для одной из точек наблюдений s, G D, ни одна из стандартных ошибок интерполяции не будет равна 0.

Карты вероятности и квантилей

Если данные подчиняются закону связанного многомерного нормального распределения, где

rCy(0) + C,(0) c c У,

то (80) - условное ожидание, £ (5 (80) z), а известное свойство многомерного нормального распределения §г (s0) состоит в том, что

5(80)z) ~ (cEz-1(z - ц) + ц(80), Cy(0) +C(0) - cEz-1c).

Поскольку проинтерполированные значения также подчиняются закону нормального распределения, возможно вычислить значения вероятностей, или по аналогии построить карту квантилей. Также обратите внимание, что условное ожидание i?(5(80)z) - наилучший интерполятор из всех интерполяторов, линейных и нелинейных, так как имеет наименьшую среднеквадратичную ошибку интерполяции.

Универсальный кригинг

Предположим, что у нас есть следующая модель:

Z(s) = [x(s)]P + e,{s), теперь разложим на составляющие случайные ошибки:

е (8) = 7(8) + (8) + 5Д8),

где X - предполагаемая матрица и в - вектор параметров, другими словами, она аналогична модели ординарного кригинга, с теми же допущениями, за исключением одного,

[(s) = [x(8)]P , где x(8) - вектор ковариат наблюдений и b - вектор из неизвестных параметров.

Интерполяция с ошибкой измерений

Еаё и для ординарного кригинга, интерполируем фильтрованную (без шумов) величину 5(80) = [x(80)]P + 7(80) + (80) в точке 80. Матрица X имеет столбец из единиц, другие столбцы содержат полиномиальные функции пространственнгх координат в точке 8. Универсальный кригинг с ошибкой измерений получается для линейного интерполятора,

(8 ) = Xz,

затем минимизируем,

E(S(80) - Xz)2 ,

где z - вектор даннгх наблюдений, а X - вектор весов кригинга. Условие несмещенности выглядит следующим образом:

E(S(8o) - Xz) = 0 ,

значит X X = x (80). Повторив операции как для ординарного кригинга, получаем уравнения универсального кригинга,

где m - вектор из множителей Лагранжа, Ez - ковариационная матрица даннгх и c равно Cov(z, S(80)). Вгчислив X, получаем интерполятор для универсального кригинга,

X = Ez-(c - Xm) , ааа m = (X Ez-X) -(X Ez- c - x(8o)).

Подставляем, чтобы получить среднеквадратичные ошибки интерполяции,

E(S(8o) - Xz)2 = Cy(0) + C(0) - X(c+Xm), = Cy(0) + (1 - K)v - X(c+Xm), и стандартные ошибки интерполяции равны:

>£S (So) = д/Су(0) + (1 -n)v - л(с - Xm) .

Вычисление нового значения для перекрестной проверки

При выполнении перекрестной проверки не интерполируйте S(80), значения версии даннгх без шумов ; наоборот, следует интерполировать значения с ошибкой измерений (80) с тем, чтобы стандартные ошибки интерполяции отразили срднеквад-ратичную ошибку интерполяции, полученную при выполнении перекрестной проверки. Вгчисление нового значения выполняется для линейного интерполятора,

u (80) = XZ,

затем минимизируем,

E(Zu (80) - Xz)2. Предположим, что если 80 = 8. G D, то и > п.. Повторяя вгполненнге ранее операции, получаем уравнения универсального кригинга,

Ix(So)J

Вычислив X, получаем интерполятор для универсального кригинга, X = E-1(c - Xm), ааа m = (X E-1X) -1(X E-1 c - x(80)).

r л