Ординарный кригинг

Заинтересованный читатель может обратиться к работе Cressie (1993, стр. 127-135) за дополнительнхми разъяснениями по использованию кригинга с ошибкой измерений; далее приведена сжатая версия того, как ординарный кригинг реализован в модуле Geostatistical Analyst. Как в и Главе 6, предположим, что данные - это реализация пространственно автокоррелирующе-го процесса плюс независимые случайные ошибки:

Z(s) = ц(8) + е(8),

но теперь разложим случайные ошибки,

e(s) = 7(8) + (8) + 5(8),

где Z(s) обозначает t-ую реализацию в точке si, и пусть п. - число измерений в точке s.. Часто п. = 1, и если п. > 1, формируется модель ошибки измерений. Предполагается, что:

m(s) = m - неизвестное детерминистское среднее значение.

Y(s) - сглаженный стационарный процесс второго порядка, чей радиус влияния для автокорреляции можно определить с помощью эмпирической вариограммы или ковариации.

E(7(8)) = 0.

Cov (7(8), 7( 8+h)) = Cy( h), и нет дополнительного эффекта самородка в процессе Y(s).

h(8) сглаженный стационарный процесс второго порядка, радиус влияния вариограммы которого настолько близок к 0, что он меньше, чем все действительные расстояния между опорными и интерполируемыми точками.

E(h(8)) = 0.

Cov(h(8), h (8+h)) = Ch(h) with Ch(r) = 0.

dj (8) продолжительный (белый) шум, состоящий из ошибок измерений.

Е(й(8)) = 0, для всех 8 и t.

Cov(dt(8), (8+h)) = s2 если h = 0 и t = и, в противном случае он равен 0.

7( ), h ( ), и d( ) независимы.

Предположим здесь, что эффект самородка, обозначаемый как 1, состоит из двух частей: вариации на микроуровне и ошибки измерений. То есть, v = C(0) +a2. Из этой модели вы можете вывести, что

Cov(Z, (s), Zu (s + h)) =

Cy (h) + (h) if Cy (0) + (0) if Cy (0) + C(0) + a2 if

h Ф 0

h = 0 and t Ф u h = 0 and t = u

Если существует ошибка измерений, вы захотите интерполировать фильтрованные (без шумов) величины 5 (80) = ц + 7( 80) + (80) в точках 80; то есть, вхчесть ошибку измерений. Если ошибки измерений нет, S(s0) = Z(s0). Ординарный кригинг с ошибкой измерений применяется для линейного интерполятора,

(80) = Xz,

затем минимизируем,

Е(5(80) - Xz)2,

где z - вектор из наблюдаемых данных, а X - вектор из весов кригинга. Условие несмещенности,

Е(5(80) - Xz) = 0,

подразумевает, что X 1 = 1, а это в свою очередь приводит к необходимости использования при минимизации множителя Лагранжа. Таким образом, получаем уравнения кригинга,

Yz 11Г л 1 0)1

где m - множитель Лагранжа, Zz - ковариационная матрица для данн1х, и c равно Cov(z, 5(s0)) = Cov(z, 7(s0) + (s0)). Предположив, что радиус влияния п( ) очень близок к 0, вы можете допустить, что Cov(z, n(s0)) = 0 для всех фактических расстояний, за исключением случая, когда s0 = si, где si.- одна из точек наблюдения; тогда Cov( Z (si), n (si)) = Cn (0), что требует оценки. Общий эффект самородка может быть оценен, но напомним, что он состоит из двух частей, v = о2 + Cn(0). Если есть независимая оценка о2, тогда вы можете оценить Cn (0) = v - о2. Это эквивалентно определению той части эффекта самородка, которая соответствует ошибке измерений, и той части, которая соответствует вариации на микроуровне; 0 < п < 1, и могут быть установлены тождества о2 = nv и Cn (0) = (1 - п) v. Если для одной точки есть несколько измерений, ошибка измерений может быть оценена так, как это было показано ранее.

После того, как определены о2 и Cn (0), переходите к решению уравнений кригинга. Если весь эффект самородка - это вариация на микроуровне п( * ) (т.е., нет ошибки измерений), то в результате решения уравнений кригинга, мы получим жесткий кригинг. Для Х получаем,

X = Ez-1(c - 1m) где m = (1 Е1 c - Е1!,

для интерполятора ординарного кригинга. Подставив в это уравнение X , получим среднеквадратичную ошибку интерполяции,

E(5(S0) - Xz)2

= Су(0) + Cn(0) - Xc - m,

= Cy(0) + (1 - n)v - Xc - m,

следовательно, стандартные ошибки интерполяции равны:

(s0) = /Cy(0) + (1 -n)v - ле - m

Вычисление нового значения для перекрестной проверки и проверки

При выполнении перекрестной проверки, вы не хотите интерполировать s(s0), версию данных без шумов, но должны интерполировать Z(s0), с ошибкой измерений, для того, чтобы стандартные ошибки вычислений отразили среднеквадратичную ошибку вычислений, полученную в результате выполнения перекрестной проверки. Вычисление нового значения выполняется для линейного интерполятора

Z (S0) = Xz,

затем минимизируем,

E(Z (S0) - Xz)2.

Предположим, что если s0 = si е D, то u > ni. Аналогично пред1-дущему примеру, получаем уравнения кригинга,

Yz 1 л

1 0

где m - множитель Лагранжа, Ez - ковариационная матрица для данн1х и c равно Cov(z, Zu(s0)) = Cov(z, 7(s0) + n(s0) +5(s0)). Для X получаем,

X = Ez-1(c - 1m) , где m = (1 Е1 c - Е1!.

Обратите внимание, что когда s0 = s. е D, интерполированное значение ,(si) как правило ia равно ни одному из наблюдаемых значений 2j(si); t < n. Однако, подставив X , чтобы найти среднеквадратичную ошибку интерполяции, получим

E(Zu(s0) - Xz)2

= Су(0) + Cn(0) + о2 - Xc - m,

= Су(0) + v - Xc - m,

следовательно, стандартные ошибки интерполяции равны CEZ (s0) = Cy(0) + v- ле - m .

Эти ошибки должны бгть сопоставлен! со стандартнхми ошибками интерполяции a€S (s0) для версии данных без шумов. Обратите внимание, что когда 80 = 8. для одной из точек наблюдений 8. е D, ни одна из стандартнгх ошибок вгчислений не будет равна 0. Для более подробной информации о кригинге с новым значением, обратитесь к работе Krivoruchko, Gribov, и Ver Hoef,

2000.

Карты вероятностей и квантилей

Если случайные ошибки подчиняются закону нормального распределения и обладают стационарностью (либо второго порядка, либо внутренней), то ошибка интерполяции S€(s0) - S(s0) тоже подчиняется закону нормального распределения, с нулевым средним значением и дисперсией, равной a€s(s 0) . Нормальность распределения позволяет строить карты вероятностей или квантилей.