Диалог Вариограмма/Ковариация

Определения вариограммы

Определение вариограммы приводится практически во всех работах по геостатистике (например, Journel и Huijbregts, 1978, стр. 31; Cressie, 1993, стр. 58; Goovaerts, 1997, стр. 68; Armstrong, 1998, стр. 19; Chiles and Delfiner, 1999, стр. 31; Stein, 1999, стр. 39). Обратите внимание, что некоторые авторы определяют ее как 2g(h), а другие как g(h). Принято, что 2g(h) -это вариограмма, а g(h) - полувариограмма.

Определения ковариации

Определения функции ковариации применительно к пространственному анализу также приводятся практически во всех работах по геостатистике (например, Journel и Huijbregts, 1978, стр. 31; Isaaks и Srivistava, 1989, стр. 221; Cressie, 1993, стр. 53; Goovaerts, 1997, стр. 68; Armstrong, 1998, стр. 19; Chiles и Delfiner, 1999, стр. 30; Stein, 1999, стр. 15).

Оценка вариограммы

Эмпирическая вариограмма может служить оценкой теоретической величины, определяемой вариограммой. Описание оценки при помощи эмпирической вариограммы также приведено практически во всех работах по геостатистике (например, Journel и Huijbregts, 1978, стр. 194; Isaaks и Srivastava, 1989, стр. 60;

Cressie, 1993, стр. 69; Goovaerts, 1997, стр. 82; Armstrong, 1998,

стр. 47; Chiles и Delfiner, 1999, стр. 36; Stein, 1999, стр. 39). Оценка ковариации

Эмпирическая ковариация служит для оценки теоретической величины, определяемой ковариационной функцией. Описание оценки с помощью эмпирической ковариации дано в многих работах по геостатистике (например, Journel и Huijbregts, 1978, стр. 192; Isaaks и Srivastava, 1989, стр. 59; Cressie, 1993, стр. 70; Goovaerts, 1997, стр. 86; Chiles и Delfiner, 1999, стр. 31;

Stein, 1999, стр. 39).

Бининг (объединение) оценок вариограммы и ковариации в классы лагов

Оценки эмпирической вариограммы и ковариации обтчно объединяются в классы лагов, основываясь на значении вектора h = (h , h который разделяет пары точек, а затем значения вари-ограммы или ковариации усредняются для каждого бина. Чаще всего, бининг выполняется по радиальным секторам; мы назовем этот способ методом сектора .

Например, на рисунке показан метод, наиболее часто используемый в программных продуктах, включая программы GSLIB

h в направлении y *

h в направлении y

1-----1----f.-

----1-----1

I I I

I-----1----

I---------

I----

- Классы - лагов

.Вектор лага

в направлении x

(Deutsch и Journel, 1992, стр. 45), Splus (Splus Spatial Stats User Manual - Руководство пользователя), и SAS (Technical Report - Технический отчет). В отличие от этого метода, в модуле Geostatistical Analyst лаги определяются по регулярной сетке; назовем этот способ методом грида .

Однако для данных, отобраннгх по регулярной сетке, определение границ бинов представляет определенную проблему. Для того, чтобы обойти эту проблему и сгладить эмпирическую вариограмму, модуль Geostatistical Analyst для определения взвешен-н1х значений вариограммы для каждой ячейки использует метод кернфункции (значения определяются с учетом того, насколько близко точка расположена к центру ячейки). Значения весов для ячейки, содержащей точку, могут бпть найдены как произведение двух маржинальных профилей, как показано на рисунке на стр. 255. Все ячейки вгчисляются одинаково. Обратите внимание, что для любого лага будет вгчислено четгре ве-совгх коэффициента, и их сумма будет равна единице.

h в направлении y

Профиль кернфункции

----1-----1-----

-► h в

направлении x

На рисунке видно, что любой вектор лага, который попадает в область, закрашенную желтым цветом, вносит вклад в класс (бин) лага с центром в красной точке. Чем ближе к центру бина, тем выше вес. То же самое выполняется для всех классов.

Модели вариограммы и ковариации

Связь между вариограммой и ковариацией

В дальнейшем будут даны формулы для вариограмм. Воспользовавшись связями между моделями вариограммы и ковариации, по вариограммам легко получить значения ковариации, и наоборот. Для внутренне стационарных процессов:

C(h;e) = у(оо; 9) - y(h;e),

y(h;e) = C(0;e) - C(h;e),

где у (о; 9) - порог вариограммы, а C(0;e) - начало ковариационной функции. Эти связи поддерживаются только для вариограмм, имеющих порог; все модели вариограмм в модуле Geostatistical Analyst имеют порог.

Геометрическая анизотропия

Геометрическая анизотропия может бпть построена с использованием преобразования

y(h;e,0) = y(0h;e),

где 0 - матрица 2x2, а y(h; e) - одна из моделей изотропной вариограммы, приведенной ниже. Вектор h = (hjh) - вращается и масштабируется в новую систему координат, где область влияния вариограммы - эллипс. В модуле Geostatistical Analyst большой радиус влияния соответствует длинной оси эллипса, а малый радиус влияния - короткой оси эллипса. Параметры большого и малого радиусов влияния - это значения, при котором радиус влияния равен порогу для моделей, которые достигают пороговтх значений, или 95 процентам значения порога для моделей, которые асимптотически приближаются к пороговому значению. Для более подробной информации обратитесь к следующей литературе: Journel и Huijbregts (1978, стр. 175), Isaaks и Srivastava (1989, стр. 377), Cressie (1993, стр. 64), Goovaerts (1997, стр. 90), или Armstrong (1998, стр. 28), Chiles и Delfiner (1999, стр. 93).

Линейн1е комбинации моделей

Модели вариограммы представлять собой линейную ком-

бинацию вариограмм:

y(h;e) = y1(h;e,) + y2(h;e2) +

Модуль Geostatistical Analyst позволяет комбинировать до трех моделей, помимо модели, учитывающей эффект самородка.