Приложение

в этом ПРИЛОЖЕНИИ

Детерминистские методы

Интерполяция по методу взвешенных расстояний

Интерполяция по методу глобального полинома

Интерполяция по методу локальных полиномов

Интерполяция по методу радиальных базисных функций

Геостатистические методы

Диалог декластеризации

Диалог моделирования распределения

Диалог вариограммы/ковариации

Диалог двумерного распределения

Формулы кригинга

Диалог перекрестной проверки

В основе модуля Geostatistical Analyst лежит множество формул и уникальных концепций выполнения задач. В данном приложении и приведены эти формулы и теоретические понятия. Предполагается, что до чтения этого приложения вы имели опыт в математике и геостатистике.

По тексту приложения приводятся ссылки на наиболее известные учебники и статьи, в которых вы сможете более детально познакомиться с математической составляющей методов, использованных в модуле Geostatistical Analyst. В некоторых случаях, когда подробности нелегко отыскать в учебниках, мы приводим более детальное описание метода.

Интерполяция по методу взвешенных расстояний

Интерполяция по методу взвешенных расстояний - относительно простой метод, и его подробное описание приведено в Главе 5, Детерминистские методы интерполяции пространственных данн1х.

Интерполяция по методу глобального полинома

Интерполяция по методу глобального полинома использует методы множественной регрессии для всех данных. Результат или поверхность тренда подбирается для координат x и у, являющихся ковариатами. Для тренда первого порядка, модель выглядит следующим образом:

Z (Щ, у,) = Ро + Pii + Рг yi + si х>, y),

где Z{x.,y.) - фактическое значение в точке р. - парамет-

ры, а e(x.,y.) - случайная ошибка. Для тренда второго порядка, модель выглядит следующим образом:

Для тренда третьего порядка, модель выглядит так:

z (x y,) = Po+Pix+Piy+Рз A+P,y- + P5 +Рб щ,3 +

и так далее, до 10-ой степени (максимальная из используемых модулем Geostatistical Analyst). Регрессионные модели подбираются путем оценки параметров {Д,} на основе использования метода наименьших квадратов, описание которого можно найти во многих учебниках по геостатистике, например в учебнике Snedecor и Cochran (1989).

Интерполяция по методу локальных полиномов

Интерполяция по методу локальных полиномов аналогична интерполяции по методу глобального полинома за тем исключением, что используются данные только в пределах определенных окон , а не для всей территории, поэтому подбираются локальные тренды и используются значения весов. Окно можно передвигать, и значение поверхности в центре окна, назовем его 0(x,y), оценивается для каждой точки. Метод наименьших квадратов используется для минимизации суммы,

где n - количество точек, попадающих в окно. В данном случае, w - весовой коэффициент,

wi = exp(-3di 0/ a),

где d.g - расстояние между точкой и центром окна, а a - параметр, контролирующий скорость убывания весовых коэффициентов с расстоянием. И наконец, 0 (x y,) - значение полинома.

Для полинома первой степени: Для полинома второй степени:

и так далее. Минимизация осуществляется для параметров {Д}. Параметры оцениваются повторно в том случае, если центр окна и, следовательно, все окно смещается (Gandin, 1963).

Интерполяция с использование радиальных базисных функций

Модуль Geostatistical Analyst использует набор из n базисных функций, по одной для каждой опорной точки. Интерполятор -это линейная комбинация базисных функций,

где ф(г) - радиальная базисная функция, r = jjs, - s0 - Эвклидово расстояние между интерполируемой точкой s0 и каждой опорной точкой s., а {ю,: i = 1, 2, n + 1} - оцениваемые значения весов.

Пусть w = (ю1, Ю2, юп), которые вхчисляются путем решения системы уравнений,

Ц 1

1 0

V 0 у

где Ф - матрица с ым элементом si - ) для пары опорных точек 1 - вектор столбца, состоящий из единиц, а z - вектор столбца, содержащий данные. Если ф - вектор, содержащий si - s0), интерполятор равен,

Где (an+1 - параметр смещенности. Следует использовать аналогичный интерполятор, (so) = л z,

где X решает уравнение,

преимущество которого состоит в том, что он показывает весовые коэффициенты для всех данных. Веса отображаются в диалоге Поиск соседства.

В модуле Geostatistical Analyst используются следующие радиальные функции:

1. Полностью регуляризованный сплайн,

:ln(cr- r/2)2 + £1(сг- r/2)2 + CE

где ln - натуральный логарифм, E1(x) - экспоненциальный интеграл (Abramowitz and Stegun, 1965, стр. 227), а CE - константа Эйлера (Abramowitz and Stegun, 1965, стр. 255),

2. Функция сплайна с натяжением,

ф(г) = ln(cr- r/2) + 0 (сг- r)+ CE,

где -0(x) - модифицированная функция Бесселя (Abramowitz and Stegun, 1965, стр. 374),

3. Мультиквадрик,

ф(г) = (r )1/2,

4. Обратный мультиквадрик,

ф(г) = (r )-1/2,

5. Плоский сплайн,

ф(г) = (а- r )2ln(c7- r).

Оптимальный параметр сглаживания а определяется путем минимизации среднеквадратичных ошибок вычислений с использованием перекрестной проверки.