Обратите внимание, что функция ковариации уменьшается с расстоянием, поэтому ее можно рассматривать как функцию сходства.

Между вариограммой и ковариационной функцией существует связь, которая может быть выражена, как

g(si,s.) = порог - C(si,s.),

и эту связь можно увидеть по рисункам. Поскольку эти функции равноценны, в модуле Geostatistical Analyst при выполнении интерполяции вы можете использовать любую из них. (Напомним, что все вариограммы в модуле Geostatistical Analyst имеют значение порога.)

Вариограммы и ковариации не могут быть просто какими-то функциями. Для того, чтобы интерполяция имела неотрицательные стандартные ошибки кригинга, только некоторые функции могут быть использованы в качестве ковариационной или функции вариограммы. Модуль Geostatistical Analyst предлагает несколько функций, которые вы можете применить для анализа данных. Вы можете также воспользоваться моделями, составленными из нескольких-такая конструкция часто дает более достоверные модели (в модуле Geostatistical Analyst возможно составить комбинацию из не более, чем четхрех функций). В некоторых случаях бывает так, что вариограммы есть, а кова-риационнгх функций нет. Например, существует линейная ва-риограмма, но у нее нет порога, и, следовательно, нет соответствующей ковариационной функции. В модуле Geostatistical Analyst используются только модели с порогами. Не существует правил, которые без труда и быстро позволили бы вам выбрать лучшую модель вариограммы. Чаще всего вы подбираете модель для эмпирической вариограммы или ковариационной функции визуально. В качестве помощников вы можете использовать проверку или перекрестную проверку.

Что такое ошибка измерений?

Три метода кригинга-ординарнхй, простой и универсальнхй- позволяют использовать модели ошибок измерения. Ошибка измерения может быть получена, когда в одной и той же точке выполнено несколько наблюдений, и их значения отличаются друг от друга. Например, вы можете получить образец в опорной точке с пробами грунта или воздуха, а затем разделить этот образец на несколько проб. Потребность в этом может возникнуть, если используемый вами инструмент для выполнения анализа дает некую погрешность. Другой пример: вы можете направить почву, разделив пробу, на анализ в различные лаборатории. В некоторых случаях, для прибора могут быть задокументированы отклонения в точности измерений. В таком случае, вы можете просто включить известные отклонения в измерениях в вашу модель. Модель ошибки измерения выглядит следующим образом:

Z(s) = m (s) + e (s) + d (s),

где d (s) - где ошибка измерений, а m (s) и e (s) - аналогичны значениям, используемым в модели кригинга, приведенной в Главе 6. В этой модели, эффект самородка состоит из дисперсии e (s) (которая носит название вариации на микроуровне) и дисперсии d ( s) (которая носит название ошибки измерений). В модуле Geostatistical Analyst вы можете определить, в какой пропорции в эффекте самородка присутствуют вариация на микроуровне и вариация, вызванная ошибкой измерений; либо вы можете использовать модуль Geostatistical Analyst для оценки ошибки измерений, если у вас есть множественные измерения для каждой точки; либо вы можете ввести известное значение погрешности (вариации), вызванной измерениями. По умолчанию предлагается отсутствие (ноль) погрешности, вызванной измерениями. Когда в даннхх нет ошибки измерений, кригинг является жестким интерполятором, что означает, что если выполнить интерполяцию для точки, в которой были отобраны данные, втчисленное значение совпадет с измеренным. Однако,

если существуют ошибки измерений, вы должны учитывать, что проинтерполированное значение будет фильтрованным, m (so) +e (so), с невыраженной ошибкой измерения. В точках, где отбирались данные, фильтрованное значение не равно измеренному значению. Эффект от выбора моделей ошибки измерений состоит в том, что ваша окончательная карта может быть более сглаженной и иметь меньшие стандартные ошибки, чем при использовании версии жесткого кригинга. Это проиллюстрировано с помощью примера на нижнем рисунке; жесткий кригинг и сглаженный кригинг показаны для случая, когда есть только две опорные точки (1 и 2) со значениями -1 и 1 для модели, построенной без учета изменчивости, вызванной измерениями, и для модели, в которой эффект самородка полностью состоит из вариации, вызванной измерениями.

0 12 3

Анизотропия: Вариограммы и ковариационные функции по направлениям

Поскольку вы работаете в двумерном пространстве, вы можете предположить, что вариограмма и ковариационная функция меняются не только с расстоянием, но и с направлением. Такое свойство носит название анизотропии. Рассмотрим две точки, si и s., и вектор между ними, который обозначим как si - s.. Этот вектор будет иметь значение расстояния не только по оси x, но и по оси у. Помимо этого, вы можете рассматривать вектор в полярных координатах, то есть учитывать его длину и угол направления. Здесь анизотропия описана для вариограммы; очевидно, что те же самые соображения применимы и для ковари-

ационной функции. Вариограмма, отображенная на двумерной плоскости с осями координат, выглядит следующим образом:

Порог

Изотропная

Анизотропная

Большой

радиус

влияния

Малый радиус влияния

бариограима/Коварнацня

Угол

направления

Изотропная модель выглядит одинаково во всех направлениях, тогда как анизотропная модель достигает порога быстрее в одних направлениях, чем в других. Длина большой (длинной) оси, при которой достигается порог, носит название большого радиуса влияния, а длина короткой оси - малого радиуса влияния; также вам известен угол поворота отрезка, образующего большой радиус влияния. В модуле Geostatistical Analyst, контур области влияния показан голубой линией (окружность или контур эллипса) на поверхности эмпирической вариограммы.

Эмпирические вариограммы и ковариационные функции

Вариограмма и функции ковариации - это теоретические величин!, которые вы не можете наблюдать, поэтому оцениваете их, исходя из ваших данных, с использованием так называемых эмпирических вариограмм и эмпирических ковариационн1х функций. Часто, вы можете постичь величины, изучив то, каким образом они оцениваются. Сначала взгляните на эмпирическую вариограмму. Предположим, вы возьмете все пары точек, расположенн1х друг от друга на примерно одинаковом расстоянии и примерно в одном и том же направлении, как и пары точек, соединеннхх на следующем рисунке зеленхми отрезками.

Для всех пар точек si и s. , соединенных отрезками, вычислим

среднее[(г(si) - 2(s.))2],

где г (si) - измеренное значение в точке si. Если все пары точек si и s. расположен! близко друг к другу, предполагается, что значения г (а) и 2(s.) будут иметь сходнхе значения, следовательно, когда вы найдете их разности и впчислите их квадрат, среднее значение квадратов разностей должно быть маленьким. По мере удаления si и s. , предполагается, что их значения будут сильнее отличаться друг от друга, следовательно, когда вы найдете их разности и впчислите их квадрат, среднее значение квадратов разностей должно стать боль-

Посмотрите на ковариационную функцию. Для всех пар точек si и s., соединеннхх отрезками, вы впчисляете

среднее[ (Z(s ) - Z)(Z(s ) - Z) ],

где 2(si) - измеренное значение в точке а , а z - среднее из всех значений опорн1х точек. Если все пары si и s. расположен! близко друг к дру, предполагается, что либо оба значения 2(si) и 2(s.) будут в1ше среднего Z, либо оба будут ниже среднего. В любом случае, результат выражения будет положительным, поэтому при нахождении среднего значения всех произведений вы получите положительное значение. Если же si и s. удален! друг от друга, ожидается, что примерно в половине случаев произведения будут отрицательными, а в половине случаев - положительными, следовательно, их среднее будет стремиться к нулю.

В модуле Geostatistical Analyst средние значения, вычисленные по формуле, приведенной вхше, для всех пар точек, удаленнхх на одинаковое расстояние и в одинаковым направлении, наносятся на поверхность вариограммы или ковариации. Например, здесь приведена поверхность эмпирической вариограммы.

Размер ячеек носит название размера лага, а количество ячеек носит название количества лагов, и их можно задать в модуле Geostatistical

Analyst. Количество лагов в данном примере равно 12, и подсчит1ва-ется как число соседних ячеек по прямой горизонтальной или вертикальной линии от центра до края изображения поверхности.