Моделирование вариограммы

В следующих разделах мы обсудим подробнее, как построить вариограмму. Предположив, что данные обладают свойством стационарности, можно изучить и количественно оценить автокорреляцию. В геостатистике этот процесс носит название пространственного моделирования, или структурного анализа (ва-риографии). При пространственном моделировании вариограммы, начните с графика эмпирической вариограммы, вычисляемого по формуле,

Вариограмма(расстояние h) = 0.5 * среднее [ (значение в точке i - значение в точкеj )2]

для всех пар точек, удаленных на расстояние h. В формулу входит вычисление половины квадрата разности между значениями пар точек. Нанести быстро на график все пары точек становится нереальным. Вместо того, чтобы наносить на график каждую пару точек, пары группируются в бины (классы) для опре-деленнтх лагов (расстояний). Например, впчислите среднюю дисперсию для всех пар точек, расположеннтх далее, чем в 40 метрах, и ближе, чем 50 метрах, друг от друга. Эмпирическая вариограмма - это график, на котором по оси y отложены усредненные значения вариограммы, а по оси x - расстояние (или лаг) (см. диаграмму).

Снова обратите внимание на предположение о внутренней стационарности, которое позволит вам выполнить репликацию. Таким образом, возможно использовать среднее в формуле вариограммы, приведенной выше.

После того, как вы создали эмпирическую вариограмму, вы можете провести через точки линию, описывающую модель эмпирической вариограммы. Моделирование вариограммы аналогично подбору линии по методу наименьших квадратов в регрессионном анализе. Выбирается некая функция, которая служит моделью, например, куполообразная кривая, поднимающаяся вначале и опускающаяся при увеличении расстояний между точками , если они превышают определенное значение.

Основная цель - впчисление параметров кривой, минимизирующей отклонение от точек в соответствии с определенным критерием. Вы можете выбирать из большого количества моделей вариограммы. Для получения более подробной информации и рекомендаций по выбору моделей, обратитесь к Главе 7. А сейчас мы детально рассмотрим каждый из этапов моделирования вариограммы.

Построение эмпирической вариограммы

Для создания эмпирической вариограммы необходимо вычислить квадрат разности между значениями для всех пар опорнхх точек. Если вы нанесете эти значения на график, отложив по оси y половину квадрата разности, а по оси x - расстояние, на которое отстоят опорные точки, вы получите диаграмму, которая носит название облака вариограммы. На нижнем рисунке показаны пары одной из опорнхх точек (которая показана красным цветом) с 11 другими опорными точками.

Одна из основных целей вариографии - изучение и количественная оценка пространственной зависимости, которая также носит название пространственной автокорреляции. Пространственная автокорреляция количественно оценивает предположе-

ние, что объекты, расположенные ближе друг к другу, более похожи чем удаленные друг от друга. Таким образом, пары опор-нгх точек, которые расположены ближе (на облаке вариограммы это точки, расположенные в начале оси x) будут иметь сходные значения (низкие значения на оси y облака вариограммы). Поскольку пары опорных точек становятся удаленными на все большее расстояние (движение вправо по оси x облака варио-граммы), точки должны становиться более непохожими и иметь более высокое значение квадрата разности (увеличение значений по оси y облака вариограммы).

Бининг (группировка значений) эмпирической вариограммы

Как вы видите из рисунка на предыхдущей странице, на котором показано расположение точек в ландшафте, и из облака вариограммы на верхнем рисунке, задача нанесения на график каждой пары опорн1х точек трудновыполнима из-за большого объема данн1х. Большое количество точек на графике делает его перегруженным, и вы не можете адекватно интерпретировать его. Чтобы сократить количество точек на эмпирической вариограм-ме, пары опорных точек должны быть сгруппированы на основе их удаленности друг от друга. Этот процесс группировки значений известен, как бининг.

Бининг - это двухстадийный процесс. Во-первгх, формируются пары точек, а во-вторгх, эти пары группируются таким образом, чтобы точки были удалены на одинаковое расстояние и располагались в одинаковом направлении. На изображении ландшафта с 12 опорными точками, вы видите, как подобран! пары для одной опорной точки, показанной красным цветом. Одинаковым цветом соединяющих отрезков показаны пары со сходными бинами.

Этот процесс продолжается для всех возможных пар точек. Как вы можете заметить, в процессе образования пар, число пар

быстро увеличивается с добавлением каждой новой опорной точки. Поэтому для каждого бина на графике облака вариограммы среднее значение расстояния и дисперсии для всех пар этого бина отображается одной точкой .

На рисунке внизу показаны все возможные парнхе связи между всеми 12 опорными точками. Точки развернуты таким образом, чтобы север был вверху.

На втором этапе процесса бининга, пары группируются на основе аналогичных расстояний и направлений. Представьте такой график, на котором каждая точка имела бы одно и то же начало координат. Это свойство делает эмпирическую вариограмму симметричной. Всегда откладывайте связующие отрезки справа от вертикальной оси.

Вы видите, что связующие отрезки 1 и 2 имеют приблизительно одно и то же расстояние и направление. Каждая ячейка грида образует бин. Связующие отрезки 1 и 2 попадают в один и тот же бин, показанный желтым цветом. Для связующего отрезка 1 найдите квадрат разности значений двух связанных опорных точек, и то же самое проделае для связующего отрезка 2. Затем найдите их среднее и умножьте его на 0.5, чтобы получить одно значение эмпирической вариограммы для бина.

Выполните эту операцию для другого бина, показанного зеленым цветом, со связующими отрезками 3 и 4. Чтобы упростить понимание, показаны только четыре связи, но конечно же, их гораздо больше.