° (0.46757)

4+ о О

102.50 (0.09834)

3+ о

(0.46982) 1

2 3

Значения:

(1,5) =

(3.4) = (1,3) =

(4.5) = (5,1) =

Как и ожидалось, веса уменьшаются с расстоянием, но такое уменьшение определено более точно, поскольку при присвоении весов учитывалось не только расстояние между точками, но и пространственное распределение данных. Выполненная интерполяция представляется достаточно достоверной.

Дисперсия кригинга

Одна из сильнгх сторон использования статистического подхода - это возможность вгчисления статистической меры ошибки интерполяции. Для этого необходимо умножить каждое значение вектора l на каждое значение вектора g и сложить их все вместе, чтобы получить значение, известное как дисперсия значений, полученных с использованием кригинга. Корень квадратный из дисперсии кригинга носит название стандартной ошибки кригинга.

В данном случае, стандартная ошибка кригинга равна 3.6386. Если принять, что ошибки подчиняются закону нормального распределения, 95 процентов интерполированнхх значений будут равны:

Интерполятор Кригинга + 1.96*корень квадратный (из дисперсии кригинга)

Значение 1.96 получено на основе законов стандартного нормального распределения, где 95 процентов вероятности попадает в интервал от -1.96 до 1.96. Интервал проинтерполирован-ного значения может бпть интерпретирован следующим образом. Если интерполяция выполняется снова и снова по одной и той же модели, для длительного периода, в 95 процентах случаев проинтерполированное значение будет равно значению в искомой точке в пределах заданного интервала. В нашем примере, интервал интерполированного значения колеблется от 95.49 до 109.75 (102.62 + 1.96 * 3.64 ).

Основные принципы, лежащие в основе методов геостатистики

Случайные (вероятностные) процессы с зависимостью

В отличие от детерминистских подходов к интерполяции, геостатистика предполагает, что все значения, полученные на изучаемой территории, являются результатом случайного (стохастического) процесса. Случайный процесс не означает, что события независимы, как при каждом подбрасывании монеты. Геостатистика базируется на случайных процессах с зависимостью. Для примера, подбросьте три монеты и посмотрите, что выпало - орел или решка. Не подбрасывайте четвертую монету. Правило, определяющее, как положить четвертую монету, заключается в том, что если вторая и третья монеты выпали решкой, положите четвертую монету так же, как выпала первая; в противном случае положите четвертую монету противоположно тому, как выпала первая монета.

В пространственном или временном контексте, такая зависимость носит название автокорреляции.

Интерполяция для случайных процессов с зависимостью

Какое все это имеет отношение к геостатистике и интерполированию неизвестных значений? В примере с монеткой, мы определили правила зависимости. В действительности они неизвестны. В геостатистике существует две ключевых задачи: (1) отыскать правила зависимости и (2) выполнить интерполяцию. Как видно из примера, интерполяция основана на том, что вначале должны быть выявлены правила зависимости.

Кригинг базируется на тех же двух задачах: (1) определении функции вариограммы и ковариации (пространственной автокорреляция) и (2) интерполяции неизвестнгх значений. Поскольку существуют две отдельные задачи, в геостатистике данные используются дважды: сначала для оценки пространственной автокорреляции, а затем для выполнения интерполяции.

Понятие стационарности

Снова рассмотрим пример с монетой. Для монет существует единственное правило зависимости. Если у вас есть только один набор измереннгх значений, вы не сможете узнать правила зависимости, если не найдете их описание. Однако, при продолжающихся наблюдениях нескольких опорных точек, зависимости становятся более понятными. В целом, статистика полагается на некое понятие о репликации, которое предполагает, что на основе повторяющихся наблюдений может бпть получена оценка, а также понята изменчивость и неопределенность оценки.

В пространственных задачах, идея стационарности используется для получения необходимой репликации. Стационарность -это предполагаемое свойство пространственнгх даннгх, использование которого часто оправдано. Существует два типа стационарности. Один носит название средней стационарности. Предполагается, что при этом типе стационарности среднее является постоянным для опорных точек и не зависит от их расположения.

Второй тип стационарности носит название стационарности второго порядка для ковариации и внутренней стационарности для вариограмм. Стационарность второго порядка - это предположение, что ковариация имеет одно и то же значение между двумя точками, которые расположены на одном и том же расстоянии и в одном и том же направлении, независимо от того, какие две точки вы выбираете. Ковариация зависит от расстояния между любгми двумя точками, а не от их взаимного расположе-

ния. Для вариограмм, внутренняя стационарность - это иредно-ложение, что дисперсия разности имеет одно и то же значение для двух точек, расиоложеннгх на одном и том же расстоянии и в одном и том же направлении, независимо от того, какие две точки вы выбираете.

Стационарность второго порядка и внутренняя стационарность - предположения, используемые для получения необходимой репликации, позволяющей определить правила зависимости, на основе которых выполняется интерполяция и оценивается неопределенность полученнхх результатов. Обратите внимание, что репликация обеспечивается за счет использования пространственной информации (аналогичного расстояния между любыми двумя точками). Пример с монетой является зависимым (первая и вторая монеты независимы, но первая и четвертая зависимы), таким образом этот случайный процесс не обладает стационарностью второго порядка.