Уравнивание по методу наименьших квадратов требует определения местоположения, ориентации и масштаба измерительной сети.

В случае работы с сетью, где измерения сводятся к двум размерностям, используются два параллельных переноса, один поворот и один коэффициент масштаба. В этом случае потребуются по меньшей мере две опорные точки (два значения Х-координа-ты и два значения Y-координаты). Эти параметры определяют минимальный набор из четырех условий, ограничивающих решение уравнений для определения местоположения, ориентации и масштаба.

Стохастическая модель

Стохастическая модель уравнивания по методу наименьших квадратов описывает статистические (случайные) отклонения от измереннгх значений. Разброс измерений одного параметра,

Стандартное отклонение

/-2а

среднее (ц)

68.4%

95.4%

На графике показана кривая нормального распределения. Нормальное распределение основывается на среднем и стандартном отклонении измеренного параметра.

описанный в предыдущем разделе, моделируется, исходя из нормального распределения вероятностей. Это распределение основывается на среднем ц и стандартном (среднеквадратичес-ком) отклонении а измеренного параметра.

Среднее ц - это математическое представление лучшего предполагаемого значения измеренного параметра. Стандартное отклонение а - это мера разброса параметра или распределения вероятностей, которая характеризует прецизионность измерений. Квадрат а носит название дисперсии.

По определению, вероятность того, что нормально распределенная случайная величина примет значение в интервале от - а до +а равна 0.684. Для интервала от -2а до +2а такая вероятность равна 0.954.

Возможно, что два или несколько измерений будут коррелировать между собой. Это означает, что отклонение в одном измерении будет влиять на другое измерение. Эта корреляция отражается на вычисленных значениях координат.

Корреляция между координатами x, y и z математически может бпть выражена в матрице размером 3x3, называемой матрицей дисперсий и ковариаций.

Qxy Qyy

В модели данных для наборов геодезических данных, матрица дисперсий и ковариаций используется для выражения вероятностного распределения координат геодезических точек и предоставляет количественную оценку их качества. Поскольку матрица дисперсий и ковариаций симметрична, ее значения могут быть выражены как шесть атрибутов в таблицах для геодезических точек и координат.

Для каждого измерения выбирается стандартное отклонение О. Выбор значения для О основывается на знаниях о процессе измерений (нолевгх условиях и типе съемочной аппаратуры) и на оппте геодезистов.

Прецизионность координат, вгчисленнгх в процессе уравнивания, зависит от прецизионности измерений и от степени учета этой прецизионности в математической модели вгчислений.

Матрица дисперсий-ковариаций моделируется в виде шести атрибутов в таблицах для координат и геодезических точек.

Формулы уравнивания по методу наименьших квадратов

(Линеаризованная) математическая модель вгражается следующим образом:

y = Ax +e + a

y = (m) вектор наблюдений; e = (m) вектор поправок; A = (m x n) матрица плана; x = (n) вектор неизвестных; a = (m) вектор констант.

Стохастическая модель вгражается следующим образом: Qy = О2 Q= J P-1 О2

Qy = (m x m) матрица дисперсий и ковариаций; s2= априори заданная вариация удельных весов; Q = (m x m) матрица весовых коэффициентов;

P = (m x m) матрица весов. Критерий метода наименьших квадратов следующий:

e* Pe = минимум

Решением является:

x = (A* PA )-1 A* P(y-a) s2= e* Pe

(A* PA ) = N = (n x n) нормальная матрица;

s2 = апостериори заданная вариация удельных весов. Матрица дисперсий и ковариаций неизвестных значений задается так:

Qx = О2 N-1

Как ясно из предыдущих формул, метод наименьших квадратов требует системы линейных уравнений.

Нахождение вектора неизвестнгх x возможно после серии ите-рационнгх вгчислений dx аппроксимированных значений x0:

x = x0 + dx

После каждой итерации новое решение сравнивается с предыдущим. Если разницей между двумя решениями можно пренебречь (она стремится к нулю), то процесс итерации является сходимым и заканчивается определением окончательных значений в результате последней итерации.

Геодезические точки, измерения и пространственная привязка

В базе геоданных информация о геометрии или форме объектов хранится в отдельном поле в таблице. Это поле формы (Shape) характеризует тип геометрии (точка, линия, полигон или муль-титочка) и отражает последовательный набор координат x и y, который помимо этого может содержать значения z и m и идентификаторы вершин (vertex ID).

Геометрия, хранящаяся в поле Shape, требует пространственной привязки для того, чтобы связать пространственные объекты с поверхностью земли. Пространственная привязка имеет две составляющие: систему координат и пространственный домен.

Система координат используется для проецирования координат с математически аппроксимированной поверхности земли, называемой эллипсоидом, на плоскость карты.

Пространственный домен - это минимальное и максимальное значение атрибутов геометрии. Экстент (область простирания) этого домена определяет точность, с которой атрибуты геометрии (x, y, z, m, ID) могут храниться как целочисленные значе-

Увеличенные гриды и

ния. Существует конечное число целых чисел в системе; таким образом, пространственный домен x и y аналогичен сетке квадратов, который всегда содержит одно и то же число строк и столбцов (примерно два миллиарда, или два в тридцать первой степени). Точность и пространственный экстент обратно пропорциональны. Поскольку значения x и y должны совпадать с пересечением линий теоретической сетки, чем больше выбранный экстент, тем ниже точность атрибутов геометрии.

Пространственная привязка пространственных объектов в базе геоданных хранится как свойство набора классов пространственных объектов или автономного класса пространственных объектов. Аналогично, пространственная привязка геодезических точек и измерений хранится как свойство набора геодезических данн1х. Каждый проект съемки имеет также свою собственную систему координат, но для него не требуется пространственный домен. Это утверждение будет рассмотрено в следующем разделе.

Дополнительную информацию о пространственной привязке вы можете найти в книге компании ESRI Картографические проекции.

1 единица карты

Экстент пространственного домена влияет на точность, с которой может храниться геометрия объектов.