стандартная 100-футовая мерная лента имеет в действительности длину 99.89 футов, то каждое измерение данной мерной лентой длины базиса в 100 футов будет иметь систематическую погрешность 0.11 фута. К измеренной величине в таком случае должно прибавляться значение 0.11 фута. Для устранения систематической погрешности геодезисты выполняют калибровку измерительных приборов.

Случайные погрешности - несистемные; они подчиняются законам статистики и теории вероятности - величину и знак слу-чайнхх погрешностей невозможно определить заранее. Случайные погрешности обрабатываются с учетом следующих предположений:

Вероятность появления положительнгх и отрицательнгх погрешностей одинакова.

Малые по абсолютной величине погрешности встречаются чаще, чем большие.

Вероятность появления больших по абсолютной величине погрешностей мала.

В тех случаях, когда есть большое количество повторнхх измерений конкретного параметра, может бпть выявлен закон распределения случайных погрешностей. После того как устранены ошибки и учтены систематические погрешности, статистическая модель подчиняется теоретическому закону нормального распределения. Более подробную информацию вы найдете далее в этой главе в разделе Стохастическая модель .

Качество координат - прецизионность против точности

Геодезисты обязаны оценивать и контролировать качество своей работы. Один уровень оценки качества для геодезистов основывается на использовании опубликованных координат. Поскольку измерения используются для определения координат, погрешности измерений распространяются и на вычисляемые координаты.

Оценка качества базируется на прецизионности и точности измеренных значений.

Под прецизионностью мы понимаем близость друг к другу величин повторяющихся измерений одного и того же параметра. Это мера контроля случайных погрешностей.

Точность можно определить как максимальное приближение к теоретически истинному значению.

Часто используемым примером, который позволяет проиллюстрировать отличие точности от прецизионности, является пример попадания в цель дротиков при игре в дартс. Подобно повторяющимся наблюдениям одного и того же параметра, попадания дротиков могут быть:

Прецизионными и точными

Прецизионными, но не точными

Точными, но не прецизионными

Используя мишень как истинное значение, вы можете визуализировать центр тяжести для каждой из этих групп попаданий.

Эти попадания являются одновременно прецизионными и точными.

Эта группа попаданий прецизионных, но не точных.

Эта группа попаданий дротиков не прецизионных, но точных. Ее центр тяжести практически совпадает с центром мишени.

Очевидно, что хотя попадания второй группы являются прецизионными, все же точность без прецизионности ближе к истинному значению, чем прецизионность без точности. На самом деле, лучше, когда есть и прецизионность, и точность. Прецизионность и случайная погрешность напрямую связаны между собой. Когда величина случайных погрешностей уменьшается, прецизионность повышается. Таким же образом связаны напрямую точность и систематическая погрешность. Когда систематические погрешности могут быть корректно спрогнозированы, результатом является повышение точности измерений.

Избыточность измерений

Очевидно, что неопределенность, вызываемая случайными погрешностями, уменьшается при выполнении избыточных измерений одного и того же параметра. Однако этого недостаточно для выявления систематической погрешности. Например, повторные измерения мерной лентой расстояний между одними и теми же углами зданий, не позволят определить неверную калибровку мерной ленты.

Как правило, геодезисты создают сеть измерений, в которой каждая геодезическая точка измеряется из нескольких геодезических точек. Результатом этого является повышение качества окончательных координат. Чем больше избыточных измерений в вашей сети, тем больше у вас шансов для выявления проблем и их контроля. Избпточность возникает в том случае, если число измерений превышает количество вычисляемых параметров. Простой пример - это набор измерений между тремя вершинами треугольника (см. рисунок).

В этом треугольнике есть избыточная информация. Все измеренные углы и расстояния полезны для описания геометрии треугольника, но они не дают однозначного решения для данного треугольника. В тех случаях, когда существует подобная этой избыточность измерений, лучшим решением является уравнивание (разбрасывание невязки) по методу наименьших квадратов.

Поскольку есть избыточные измерения, однозначное решение для этого треугольника найти невозможно. Например, углы треугольника должны в сумме давать ровно 180 градусов, но из-за погрешностей, о которых говорилось в предыдущем разделе, этого не происходит. Уравнивание (разбрасывание невязки) по

Расстояние 2

методу наименьших квадратов является оптимальным решением при наличии в вашей сети избыточных измерений.

Уравнивание по методу наименьших квадратов

Поскольку в геодезических сетях присутствует избыточность измерений, необходим метод, который позволил бы обработать их так, чтобы они наилучшим образом отвечали поставленным условиям. В предыдущем примере условия определяются геометрией треугольника. Величина, на которую должно бпть скорректировано каждое из измерений носит название уклонений.

Разбрасывание невязки по методу наименьших квадратов позволяет найти лучшее решение путем вычисления минимального значения суммы квадратов уклонений.

Окончательно вычисленные уклонения носят название поправок (уклонений), вычисленных по методу наименьших квадратов.

Модели уравнивания по методу наименьших квадратов содержат две важные составляющие: математическую модель и стохастическую модель. Математическая модель - это набор отношений между измерениями и неизвестными координатами. Стохастическая модель описывает вероятное распределение погрешностей измерений.

Математическая модель

При проведении геодезических съемок измерения часто не являются вашей конечной задачей. Измерения обрабатываются в вычислениях с целью определения координат геодезических точек. При вычислениях координаты выражаются как функции измерений. Каждое вычисление, следовательно, представляет собой математическую модель. В случае с уравниванием по методу наименьших квадратов математическая модель образует основу для использования данного метода.