Геометрический смысл этой поправки заключается в том, что геодезические координаты переносятся с поверхности эллипсоида на поверхность сферопа, ироходяп1,его через данную точку А по силовой линии нормального поля, или иначе: от геодезической широты на поверхности референц-эллипсоида осуществляется переход к геодезической широте, отнесенной к поверхности сферопа точки А. Но силовая линия нормального поля - плоская кривая, расположенная в плоскости меридиана, своей вогнутостью направлена к полюсу. Поэтому поправка вводится только в широту.

Согласно сделанному определению, уклонение отвесной линии \ (рис. 123) представляется углом (у, g); g - направление силы тяжести в точке Земли Л, составляющее с плоскостью экватора угол ф, равный наблюденной астрономической широте в точке А\ у - направление нормали к сферопу

точки Л, иначе, направление касательной к силовой линии нормального поля, проходящей через точку А и составляющей с плоскостью экватора угол В . Точка А - проекция точки А на эллипсоид по силовой линии AAq\ 7 о - направление касательной силовой линии AAqB точке А о, практически совпадающее с направлением прямой А - норма,ли к эллипсоиду и образующее, согласно определению сфероидической геодезии, с плоскостью экватора угол В - геодезическую широту точки А. Различие в

направлениях Л и 7о составляет при Я = = 8000 м величину 0,0008 sin 2Я [12, стр.80]. Следовательно, на рис.123 можно положить В - Bq.

Рис. 123

С учетом сделанных пояснений можем написать

(65.6)

Так как из геодезических вычислений определяется геодезическая широта Я, то для вывода величины \ по (65.2) необходимо знать разность {В-В. Найдем эту величину как разность направлений касательных к силовой линии АА о в точках Аж Aq.

Проведем через точку Л бесконечно малый отрезок АО, параллельный касательной к эллипсоиду в точке А q\ угол при точке А в малом треугольнике АООх, очевидно, выразит искомую разность направлений касательных, т. е. {В - Я ).

Из треугольника АОО

{В-В,) =

ООх АОл

(65.7)

В этом выражении:

ООх - изменение расстояния между уровенными поверхностями при изменении широты на (В - Я ), которое обозначим через АЯ;

АОх - с достаточной точностью определится как элемент дуги меридиана, равный М {В - Вп).

Следовательно,

Д-Д--М(Д-в ,- (65.8)

Для двух близких уровенных поверхностей можем написать

ydH = dW = dc, (65.9)

где dH - расстояние между рассматриваемыми уровенными поверхностями. Из (65.9) следует, что

ydH+dydH=:0. 65.10)

В (65.10) йЯ - изменение dH вследствие непараллельности уровенных поверхностей.

Из (65.10) получим

t dm=>-dH. (65,11)

Из уравнения Клеро (59.34) 4 можем написать

- = Psin25di?. (65.12)

С учетом (65.12) выражение (65.11) с достаточной точностью перепишем так:

sin 2В dB dH. (65.13)

Откуда, интегрируя, получаем

ДЯ = -яр sin 2В dB, (65.14)

считая широту В постоянной и пренебрегая малыми величинами третьего порядка, после подстановки (65.14) в (65.8) получаем окончательно

1 {В- Вп) = - р sin 2Вр. (65.15)

Если выразим Я в километрах, возьмем числовое значение для В = 45°, оодожим р = 0,0053, а поправку {В - В ) обозначим через е , то получим рабочую формулу

{Вп - 5) = 8 = 0,171Я sin 2В. (65.16)

При Я = 1 км и б = 45° (б - В) = 0,17*. Следовательно, рассматри-4М1вмая поправка не пренебрегаема.

<j Таким образом, окончательные формулы для вычисления астрономо-. геодезических уклонений отвесных линий ит) будут иметь вид:

= ф-В-0,171Яsin 25

\ (65.17)

лаг = (?\- -ь) COS б

Если обозначим:

! ваг - составляющая уклонения отвесной линии в произвольной плоскости азимута А;

.н ваг - составляющая угла между нормалью к поверхности референц-эллипсоида и отвесной линией той же плоскости, то

, аг = 1агС08Л--Т1аг81пЛ, (65.18)

вз. = (6 0,171 Я sin 2JB) COS А + ti. sin Л. (65.19)

Откуда

®аг - -e-ar = 8 = 0,171 Я sin 2В COS А. (65.20)

Из формул (65.17), как и, формул (65.18) (65.19), следует, что для определения астрономо-геодезических уклонений по рассматриваемому методу в каком-либо пункте триангуляции должны быть известны также точные астрономические координаты - широта и долгот ф и А,. Как увидим далее, для строгого решения редукционных задач и вьшисления высот точек Земли над референц-эллип-соидом уклонения отвесной линии должны быть известны для каждого пункта триангуляции 1 класса, а в горных районах и для пунктов триангуляции 2 класса. Следовательно, для применения астрономо-геодезического метода уклонений отвесных линий необходимо на каждом пункте триангуляции 1 класса, а в указанных особых районах и на пунктах триангуляции 2 класса определить астрономические координаты. Это требование делает практически неосуществимым применение астрономо-геодезического метода вывода уклонений отвеса па значительных территориях.

Итак, оба рассмотренных метода вывода уклонений отвесных линий, взятые отдельно, не могут быть практически применены по разным причинам, указанным выше.

Достаточно точное решение рассматриваемой задачи дает астрономо-гравиметрический метод вывода уклонений отвесных линий, основанный на совместном использовании астрономо-геодезических и гравиметрических измерений.

§ 66. Астрономо-гравиметрический метод вывода уклонений отвесных линий

Допустим, что на территории страны выполнена сплошная гравиметрическая съемка и создана астрономо-геодезическая сеть. В СССР, например, планомерно выполняемая гравиметрическая съемка производится с 1934 г. и к настоящему времени ею покрыта большая часть территории нашей страны.

Развитие астрономо-геодезической сети СССР в виде полигонов близко к завершению; эта сеть оснащена пунктами Лапласа примерно через 200 км и, кроме того, между ними, вдоль рядов 1 класса, - через 70-100 км определяются на пунктах триангуляции астрономические широты и долготы.

Выберем на территории страны некоторую точку С и поставим задачей определить в ней астрономо-геодезическое уклонение отвесной линии путем совместного использования материалов астрономо-геодезических и гравиметрических измерений. В общем случае для точки С неизвестны ни геодезические, ни астрономические координаты; ее положение можно определить по какой-либо топографической карте (масштаба 1 : 100 ООО и крупнее). Практически необходимо для геодезии вычислять астрономо-геодезические уклонения отвесной линии тех точек, для которых известны только или геодезические или астрономические координаты. Для точек, имеющих геодезические координаты (пунктов триангуляции), уклонения отвесных линий необходимы для вычисления редукционных поправок и высот пунктов; для астрономических пунктов - для перехода от астрономических координат к геодезическим по формулам, вытекающим из (63.1).

Вокруг исследуемого пункта С возьмем некоторую область о; пусть влияние аномалий этой области на величину полного уклонения отвесной линии равно Ua\ остальную часть поверхности Земли обозначим через S. Пусть влй-