Точка Zi пересечения этого направления с небесной сферой будет астрономическим зенитом точки Aq. Далее из точки Aq проведем прямую, параллельную оси Мира (оси вращения Земли), которая пересечет сферу в точке Р. Через т обозначим точку пересечения визирной линии со вспомогательной сферой при наведении трубы теодолита на предмет М. Соединим дугами большого круга точки zn. z-ic точками Р ж т. Тогда, вводя обозначения, будем иметь: mzi = z - измеренное зенитное расстояние на точку М;

А огтп - вертикальная плоскость в точке А , проходящая через М;

mz = Z - геодезическое зенитное расстояние, т. е. зенитное расстояние, которое мы получили бы, если бы вертикальную ось теодолита направить по нормали к поверхности референц-эллипсоида;

AqZiti - плоскость прямого нормального сечения в Aq, проходящая через М;

zP = 90° - В - дуга, измеряющая угол между полюсом и зенитом.

Рис. 119

Рис. 120

Нетрудно доказать, что эта дуга действительно равна 90° - В. Пусть эллипсоид, изображенный на рис. 120, представляет собойЗемлю, тоща ЕЕ- большая полуось, лежащая в плоскости экватора: Aq - точка на земной поверхности, служившая исходной для построения рис. 119. На рис. 120 угол EOAq равен широте В точки Aq, а угол AqOP равен 90° - В. Так как AqZ - продолжение линии OAq, а AqP параллельна малой полуоси эллипсоида (оси Мира), то угол zAqP также равен 90° - В.

Возвращаясь к рис. 119, отмечаем, что дуга zP измеряет угол между нормалью к эллипсоиду и направлением на точку Р, поэтому выражение 90° - В соответствует геодезической широте точки Аq. плоскость АqzP - плоскость геодезического меридиана точки Aq, z-P = 90° - ф - дуга, связанная с направлением отвесной линии, поэтому 90° - ф соответствует астрономической широте точки А q.

АqZP - плоскость астрономического меридиана точки Аq.

Z zPzi = AZ - угол между астрономическим и геодезическим меридианами точки Aq.

Так как астрономические и геодезические долготы отсчитываются от одного начального меридиана, то

zzj = и - дуга, измеряющая угол между направлением нормали к поверхности эллипсоида и направлением отвесной линии в точке Aq ж выражающая полное уклонение отвесной линии в точке Аq;

ZPzZi = 6 - геодезический азимут плоскости AqZZi, которой находится полное уклонение отвесной линии в точке Aq]

Z.PziT = 81 - астрономический азимут той же плоскости.

Проведем из Zi дугу ZiZg, перпендикулярную к геодезическому меридиану Pz, т. е. соответствующую сечению первого вертикала на эллипсоиде.

W zza = i - слагающая (проекция) полного уклонения отвесной линии в меридиане;

W Z1Z2 = т] - слагающая (проекция) полного уклонения отвесной линии в первом вертикале;

/.Pzm = Afn - геодезический азимут плоскости AqzM, т. е. прямого нормального сечения из .4 о на М;

/.PziTn = ат - астрономический азимут плоскости AqZiTii, т. е. вертикального сечения из А на М.

Из сферического прямоугольного треугольника zzP (см. рис. 120) имеем:

cos {X-L}tg(pctg{B-]-l) sin Г] z= sin (A, - L) cos ф

(65.1)

Раскладывая sin {X - L), cos {X - L) и зшц в ряды и пренебрегая по малости величинами {X - L) и т] 2, получаем искомые выражения слагающих уклонения отвесной линии через астрономические и геодезические координаты:

Е=ф-В ]

1 r [ (65-2)

У]={Х- Ь)С08Ц) ]

Решая треугольник zzz, который по малости элементов можно рассматривать как плоский, находим следующие зависимости:

I = и cos 0

т] Lysine

tge=-f

COS0

sine

(65.3)

или, на основании формул (65.2) и (65.3),

jX-L) cos ф (ф-5)

- Ф~~ (X-L) cosф

cos в sin 0

(65.4)

и = У{ц>-В)-}-{Х~Lf cos2 ф

Найдем проекцию b. полного уклонения отвесной линии и на вертикальную плоскость, имеющую азимут Ат Из треугольника m-izz-x (рис. 121), на котором оставлены обозначения, соответствующие рис. 119, получаем

в- = ucosR = u cos {Am - 6) = w cos Am COS 0 M sin Am sin 0

или, принимая во внимание (65.3),

л =icos+Tisin ,. (65.5)

Полученные формулы (65.2) и (65.3) астрономо-геодевического метода вывода уклонений отвесной линии соответствуют сделанному допущению, что земная поверхность совпадает с референц-эллипсоидом или в данной точке пересекается с референц-эллипсоидом. Рассмотрим общий случай, когда точка земной поверхности А не лежит на референц-эллипсоиде, а имеет высоту Н. В этом случае непосредственно наблюденные астрономические координаты ф и ? определяют направление отвесной линии в точке А, которое не совпадает с направлением отвесной линии в пересечении ее с поверхностью референц-эллипсоида в точке А о (рис. 122).

Естественно, возникает мысль редуцировать астрономические координаты на поверхность референц-эллипсоида или геоида по отвесной линии, с тем чтобы вершину угла, определяющего уклонение отвесной линии, иметь на поверхности эллипсоида. В этом случае уклонение отвеса выразит наклон геоида

ОС.МЯСЯ

fi поёерность

Рис. 121

Рис. 122

относительно референц-эллипсоида. Но реальная отвесная линия АА, проходящая через точку А внутрь3емли, - линия двоякой кривизны. Ее кривизна меняется не только под действием нормального поля Земли, но и вследствие неизвестных нам аномальных масс, причем изменение кривизны силовой линии может происходить скачкообразно.

Таким образом, точное редуцирование астрономических координат на референц-эллипсоид невозможно, так как неизвестны плотности внешнего (по отношению к эллипсоиду) слоя Земли. Поэтому в настоящее время принято за вершину угла, измеряющего уклонение отвесной линии, считать соответствующую точку физической поверхности Земли, а уклонение отвесной линии понимать как угол между направлением действительной силы тяжести и направлением нормальной силы тяжести в этой точке. Иначе говоря, уклонение отвесной линии в данной точке земной поверхности - угол между нормалью к уровенной поверхности и нормалью к поверхности сферопа, проходящих через данную точку поверхности Земли. Именно указанное понятие об уклонении отвесной линии имелось в виду в § 64 при выводе формул уклонений отвесной линии гравиметрическим методом.

При таком определении уклонения отвесной линии никаких поправок в астрономические координаты вводить не следует, так как их непосредственно наблюденные значения дают направление вектора силы тяжести в данной точке поверхности Земли. Однако другой вектор, образующий уклонение отвесной линии, - направление нормали к сферопу, или, что все равно, направление касательной к силовой линии нормального поля, отличается от направления нормали на поверхности эллипсоида; это отличие учитывается путем введения поправки в геодезическую широту.