При необходимости повысить точность вычисления рассматриваемой редукции, а также в горных районах со значительными колебаниями высот область, окружающую гравиметрический пункт, разбивают на ячейки. Пользуясь топографическими картами, определяют среднюю высоту каждой ячейки и вычисляют ее влияние на аномалию силы тяжести. Суммарное значение влияний всех ячеек, разбитых в районе выбранного радиуса, и будет искомой неполной топографической редукцией.

В настоящее время для чисто геодезических целей используются только аномалии с редукцией в свободном воздухе, вычисляемые по формулам (61.9).

§ 62. Возмущающий потенциал

Напишем действительный и нормальный потенциалы:

W=V+Q U = V + Q

(62.1)

В выражениях для W ж U взято одинаковое значение потенциала центробежной силы Q, поскольку мы условились ранее, что уровенный эллипсоид имеет такую же угловую скорость со, как и действительная Земля. Различия в значениях Q вследствие несовпадения осей вращения Земли и уровенного эллипсоида при соответствующем его выборе весьма малы. В случае необходимости эти различия могут быть учтены путем введения поправки в нормальную силу тяжести. Таким образом, для возмущающего потенциала Т будем иметь

T = W - U==V-V\

(62.2)

Возмущающий потенциал Г, как разность потенциалов притяжения, обладает всеми свойствами потенциала притяжения, перечисленными в § 55.

1. Возмущающий потенциал вне поверхности Земли является гармонической функцией, т. е. он во внешнем пространстве должен удовлетворять уравнению Лапласа

Рис. 115

(62..3)

2. Возмущающий потенциал является функцией, регулярной на бесконечности, т. е. для него должно выполняться условие

ИтГ = 0.

(62.4)

Для определения Т на поверхности Земли S необходимо к написанному уравнению Лапласа и условию на бесконечности присоединить дополнительноо условие на поверхности 5, связывающее Т с известными результатами непосредственных измерений, выполненных на земной поверхности. Как было установлено выше, для этого наиболре целесообразно использовать результаты гравиметрических определений в виде аномалий силы тяжести.

Итак, примем, что известны для всей поверхности Земли смешанные аномалии силы тяжести

Ag = m-V (62.5)

причем g отнесено к точке М (рис. 115) земной поверхности с координатами В, L, Н, & у - к точке сферопа с координатами В, L, Ю {g отнесено к точке М, а 7 - к точке N). Иначе говоря, будем считать, что на всей поверхности Земли выполнены измерения силы тяжести и нивелирование, необходимое для вычисления = -т f gdh.

от J

Далее положим, что уроненный эллипсоид нормального поля Земли установлен, т. е. будем считать его потенциал Uq известным, причем Uq = Wq. Нетрудно понять, почему необходимы измерения на всей поверхности Земли: возмущаюЕдий потенциал зависит от аномального поля всей Земли, а не в отдельной точке или какой-либо области вблизи этой точки.

Искомое дополнительное условие на поверхности или, как его называют, граничное или краевое условие, определится из следующих соображений.

Если

Wm = Um + Тм,

где п - направление нормали к уровенному эллипсоиду, которое при вычислении силы тяжести можно не различать от направления вектора тяжести g.

Действительно, если вместо направления нормали п взять направление .силы тяжести g или наоборот, то будет допущена ошибка порядка

g-gcos{gn) = g-.

Если положить (gn) = l то относительная ошибка в g будет меньше 1

:20 ООО ООО

С учетом последнего обстоятельства

(4)m = -mh(4) = -V . (62.7)

Поэтому (62.6) примет вид

= V -4. (62.8)

Обозначим разность высот точек М и N через , тогда

7м = Т + С. (62.9)

Согласно (61.6),

ду 2у

дп R

(62.10)

В этом случае поправка будет получена с ошибкой третьего порядка малости, так как С - величина второго порядка малости, а вычисленное зна-

,274

чение 1 при допущении, что Земля - шар, ошибочно на величину первога порядка.

Принимая во внимание (62.9) и (62.10), для (62.8) получаем

?M-V -?-. (62.11>

Теперь выразим отрезок MN = С - высоту точки в функции возмущающего потенциала. Проведем через N ж М уровенные поверхности нормального поля Un и Um На основании общей формулы (58.17) напишем

iV (62.12Ь

Положение точки N определяется из условия

Wo-WM=UQ-Ujf,

UN=UQ-gdh

UM = WM-TM = Wo-gdh-TM. Тогда для t в (62.12) получим

Если Uq = Wqj to

С = у[С/о-Ио+7м1. (62.13),.

(62.14)

Формулу (62.14) называют формулой Вру не а. На основании (62.11) и, принимая во внимание, что

получаем для (62.5) окончательно

АЯ = ?м-Т =~-4. (62.15)

Выражение (62.15) и представляет собой искомое краевое условие.

Первый член, стоящий в правой части уравнения (62.15), - , учитывает различие в положении точек, для которых вычислено gM и -уд; он выражает изменение силы тяжести при переходе от одной поверхности к другой.

Его называют членом Брунса. Второй член ~ представляет силу, развиваемую

возмущающим потенциалом. Оба члена являются величинами одного порядка.

Заметим, что член Брунса меняется более плавно, чем второй член

Теперь определение возмущающего потенциала сводится к нахождению функции Т, которая была бы вне S гармонической функцией координат, на бесконечности была бы регулярна и удовлетворяла бы на поверхности S условию (62.15), т. е.