Из рис. 12следует, что угол между плоскостями параллели и первого вертикала измеряется углом СМп = В. Поэтому радиус г параллели определится через радиус кривизны первого вертикала N по формуле

г = iV cos 5 = МС.

Учитывая выражение для радиуса параллели из (4.9), получаем

а cos В лт г>

= N cos В,

откуда

-7==, (5.10)

iV = -==-.

ИЛИ, принимая во внимание обозначение (4.36), получим Из рис. 12 следует, что

N=--, (5.10)

Mn = -=N, (5.11)

cos .В

Т. е. длина отрезка нормали Мп равна радиусу кривизны первого вертикала Из (5.3) и (5.10) имеем

N 1 -e2sm2 5

l e2- e2cos2 5 . . e2cos25 /сох -iHZ--+ 1 е2

М 1-в

Отсюда видно, что

Для вычислений используются в соответствующих случаях величины и обозначаемые символами (1) и (2), т. е.

= (1) и - = (2). (5.13)

Значения этих величин выбирают из специальных геодезических таблиц по аргументу широты.

Радиус кривизны меридиана М, как увидим далее, служит для вычисления длин дуг меридианов и разностей широт; радиус кривизны первого вертикала N - для вычисления длин дуг параллелей и разностей долгот и азимутов.

Для вычислений на счетных машинах полученные выражения (5.3) и (5.10) для М ж N неудобны в связи с необходимостью вычислять дробные степени W и F; в этом случае целесообразно представить М и iV в виде сходящихся рядов.

Разложив в выражениях (5.3) и (5.10) знаменатели (1 - sin Б) /2 и (1 - e2sin2B)~/2 в биноминальный ряд, после несложных преобразований

и подстановки числовых значений элементов референц-эллипсоида Красовского-в метрах, получим:

М = 6 367 558,4969- 32072,9605 cos 25-f 67,3123 cos 45-- 0,1319 cos 65-Ь 0,0002 cos 85- ... = 6 335 552,7170 + + 63 609,7883 sin2 5+ 532,2089 sin* 5+ 4,1558 sin 5 +

+ ,0317sin85 Ч (5.14)

,V = 6 388 958,4431 - 10 726,9320 cos 25+ 13,5077 cos 45 - - 0,0189 cos 65+ .. . = 6 378 245,0000+21 346,1416 sin 5-

+ 107,1586 sin* 5+ 0,5982 sin 5 + 0.0033 sin 5 j

Выше были получены формулы для главных радиусов кривизны, вывод которых основывался на классическом подходе к решению задач сфероидической геодезии. Учитывая важность полученных формул, а также методические соображения, дадим вывод формул для М и iV в другой форме, пользуясь иным приемом их получения.

Воспользуемся известным разложением Эйлера степенной функции в цепную дробь

(1 + г/Г = 1 +

(l v)y (1+v)?/ , (2-v)y

(n -v) г/

(n + v)y

...+

2n + l

(5.15)

Разложение (5.15) сходится, как известно, на всей комплексной плоскости переменного у, разрезанной по вещественной оси от у = -1 до у = -оо. В случае у вещественного положительного разложение (5.15) применимо для любого значения аргумента у. Для этого достаточно взять нужное количество звеньев цепной дроби (5.15). Ограничиваясь двумя из них, запишем:

(i + j/)vi + -4

(1-v)y

(5.16)

Далее, пользуясь известным методом подсчета подходящих дробей, опуская подробности дальнейших математических выкладок, для выражения (5.16) можно записать, что

w 2 + (l + v)y

(1-ьг/)

(5.17)

2 + (l-v)y

Применим формулу (5.17) для вычисления величин М, N, записав их в виде:

(5.18>

N== - =-,

W F

где по-прежнему:

W=Yi - e sin2 5 = (l -е2 sin 5)% V = /l + e2cos2 5 = (1 + е cos В)

(5.19)

(5.20) (5.21>

в формулах (5.20) и (5.21) значения переменного у, входящего в (5.17), соответственно равны

у=-esinB и y - ecosB,

а величина v = /2

Cлeдoвaтeльнo,

1-0,75е2 sin2 5 /с оо\

-1-0.25.2 sin./У (5-22)

~ 1+O,25ecos2 5

1-I.25e2sin2 (5 94)

l+0.25e2sin2 5 -

31 + 1.25.-;cos2 . (5.25)

1-0,25ecos2 5

Тогда формулы (5.18) и (5.19) примут вид

fi 24 l+0,25e2sin2B 1 -0.25е2 cos2 5 /сосч

l-0,/5e2sin2 5 1+O,75e2cos2i?

Можно доказать, что абсолютная погрешность приближения (5.16) равна модулю разности между соседними подходящими дробями того же типа и дюжет быть вычислена по формуле

A.(y)<i p+sni+i) (5.28)

где символ Аз указывает, что погрешность соответствует двум звеньям цепной дроби, т. е. формуле (5.16).

Приняв в выражениях (5.20) и (5.21) величину квадрата эксцентриситета (или е) равной 0,0067, для любого значения широты В получим:

А ы<-1. 0М! <г0 9.10- 2Ш)< 2,007.4,007

Таким образом, формулы (5.22)-(5.27) обеспечивают вычисление величин W, V, М и N с достаточной точностью, т. е. до 1 -10 .

Заметим, что полученные формулы (5.26) и (5.27) для М и N более удобны и просты для вычислений на счетных машинах, нежели формулы (5.14).

§ 6. Средний радиус кривизны

Средним радиусом кривизны в данной точке поверхности называется предел, к которому стремится среднее арифметическое из радиусов кривизны нормальных сечений, когда число их стремится к бесконечности.

Пусть на рис. 13 меридиональное сечение в данной точке М изображено линией РМР , а сечение первого вертикала - WMO. Эти два сечения являются главными нормальными сечениями, имеющими соответственно максимальную и минимальную кривизну.