Глава IX

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВНЕШНЕГО ПОТЕНЦИАЛА СИЛЫ ТЯЖЕСТИ ЗЕМЛИ

§ 60. Нормальный и возмущающий потенциалы

Изучение фигуры Земли неразрывно связано с исследованием ее гравитационного поля, характеризуемого потенциалом силы тяжести. Следовательно, дальнейшей задачей должно быть рассмотрение вопроса об определении потенциала силы тяжести на основании непосредственных измерений, результаты которых зависят от фигуры Земли и ее внешнего гравитационного ноля.

Однако непосредственное вычисление значения потенциала по одной из ранее приведенных формул встречает в настоящее время практически непреодолимые препятствия. Для пояснения этого возьмем одно из выражений потенциала

W=l] + {x + V). (60.1)

Второй член этого выражения, представляющий потенциал центробежной силы, мал по сравнению с первым членом и может быть определен без затруднений, тдк как угловая скорость вращения Земли (о хорошо известна из астрономических наблюдений, а координаты х ж у следует считать заданными. Но для вычисления первого интеграла, представляющего собой V - потенциал притяжения Земли, мы не располагаем всеми необходимыми данными. Действительно, для вычисления его нам необходимо знать плотность б в каждой точке Земли.

Этими данными мы не располагаем, а потому практически использовать выражение (60.1) как рабочую формулу для вычислений невозможно.

Практически целесообразно применить следующий путь для вычисления I потенциала W.

Ij! Выделим из потенциала W некоторую правильную часть, которая по

I jl возможности была бы близка к W и могла бы быть вычислена достаточно просто.

1 I Эта часть, выделяемая из потенциала W, получила название нормального

1; потенциала. Иначе говоря, норма.льным потенциалом

I : называют вспомогательный потенциал силы тяжести, по возможности близкий

II по своему значению к реальному потенциалу и просто вычисляемый.

I I Обозначим нормальный потенциал через U. Если он может быть вычислен,

причем достаточно просто, то задача определения реального потенциала W будет сводиться к определению разности реального и нормального потенциалов; , J эту разность принято называть возмущающим потенциалом и обозначать

j ij буквой т.

1 1 Таким образом

т w = u+T. (60.2j

I Нормальный потенциал может быть выбран различно. Проще за нормаль-

ный потенциал принять потенциал шара, имея в виду, что фигура Земли с не-j I которой степенью приближения может быть принята за шар. Тогда для нор-

мального потенциала мы получили бы

иШ-+{х + у). (60.3)

При таком выборе нормального потенциала для его вычисления потребовалось бы определение массы Земли и ее среднего радиуса.

Однако в этом случае вычисление возмущающего потенциала Т оказалось бы чрезвычайно сложным, так как разности W - U - Т оказались бы величинами первого порядка малости, т. е, порядка сжатия Земли. Как показано выше (§ 58), при существующей точности полевых измерений для вычисления возмущающего потенциала необходимо было бы удержать члены с Т.

Поэтому за нормальный потенциал целесообразно принять потенциал эллипсоида вращения,имеющего массу, равную массе Земли и вращающегося с той же угловой скоростью, что и реальная Земля. Тогда возмущающий потенциал Т = W - U будет уже величиной второго порядка

малости ==2-10 , поэтому члены порядка могут уже не учитываться.

Возможность определения нормального потенциала вытекает из теоремы Стокса, доказанной в 1849 г. Эта теорема формулируется следующим образом: если известны внешняя уровенная поверхность S потенциала силы тяжести, масса тела Ми угловая скорость вращения его со вокруг неизменной оси, то потенциал силы тяжести, как и его производные, определяются однозначно, как на самой поверхности 5, так и во всем внешнем пространстве независимо от распределения плотностей и масс внутри поверхности S.

Теорема Стокса устанавливает принципиальную возможность определения потенциала силы тяжести, если известна форма внешней уровенной поверхности и общая масса тела, без привлечения каких-либо гипотез о его внутреннем строении. Определение потенциала по этим условиям составляет так называемую проблему или задачу Стокса.

Поскольку потенциал центробежной силы определяется формулой

то проблема Стокса сводится к определению потенциала силы притяжения V. Достаточные и необходимые условия для определения потенциальной функции V вытекают из общих свойств потенциала притяжения, а именно:

1) оператор Лапласа AgF во внешнем пространстве равен нулю;

2) функция F должна быть непрерывной и конечной и иметь непрерывные и конечные первые производные;

3) на большом расстоянии г от произвольной точки тела

]imrF==/iF/ (6.04)

и, кроме того, на поверхности как уровенной, должно быть

F=nocT. -i(a:2-f г/2). (60.5)

Задача Стокса неразрешима в конечном виде для произвольной поверхности , однако для простейших поверхностей, как сфера, эллипсоид, она решена строго и в замкнутой форме.

Нас интересует эллипсоид вращения, поскольку выше был сделан вывод, что именно эллипсоид целесообразно принять за тело, для которого следует вычислять нормальный нотенциал.

Итак, если принять поверхность эллипсоида вращения

С2 62

за нормальную уроненную поверхность, то, не приводя довольно громоздкого вывода, напишем в окончательном виде точное выражение нормальной силы тяжести для точек поверхности такого эллипсоида

VacosB + b-sinB *

гДб Yb, Ve, Ур - значения нормальной силы тяжести для точек с широтой В, на экваторе и на полюсе соответственно.

Формула (60.6) была выведена в 1929 г. итальянским геодезистом Со-мильяна.

Если по-прежнему обозначить:

а = -?-=, (60.8)

то после внесения их в формулу (60.6) и разложения знаменателя по биному Ньютона и простых преобразований получим с удержанием членов первого порядка сжатия

7B=-7e(l + Psin), (60.9)

т. е. формулу Клеро.

Удерживая члены второго порядка относительно а, находим

У в = Уе (1 + Р sin2 в - Pi sin2 2В), (60.10)

т. е. формулу (59.36), приведенную в § 59 без вывода. В формуле (60.10)

Pi=-i.a2 + -lap. (60.11)

Нанишем без вывода выражения для других параметров уровенного эллипсоида.

Потенциал силы тяжести U на уроненном эллипсоиде

/л 2 1 , 8 о А I 11 2 2 /и 24 236 2

(60.12)

Масса м уровенного эллипсоида

М = (20)2+2- + ). (60.13)

Отметим еще одно существенное обстоятельство. Если взять семейство уровенных поверхностей нормального потенциала U = С, где С - различные значения постоянных, то только уровенная поверхность U = Uq будет эл-