Сохраняя лишь малые величины порядка и q, последнее выражение можем переписать

=-(1ж+т) (59.14)

Но на основании (4.16) с удержанием членов порядка ш а для эллипсоида враш;ения

- = . --= 1 -.sin20 = l -asin20. (59.15)

Сравнивая (59.14) и (59.15), приходим к заключению, что уравнение (59.14) является эллипсоидом вращения со сжатием

=1ж+- (59-16)

Этот вывод получен на основе теории потенциала силы тяжести на Земле; в процессе вывода принята только одна гипотеза, что Земля - тело вращения, по форме незначительно отступающее от шара.

Существенно заметить, что полученный вывод справедлив только в том случае, если все массы находятся внутри геоида, так как только при этом условии можно разложить потенциал силы тяжести в ряд. Это понятно, так как мы уже установили, что в пересечении геоидом материков, когда притягивающие массы оказываются вне геоида, его кривизна меняется скачком, а поверхность геоида под материками выражается другой аналитической функцией, чем на море. Отступления от допущенного условия распределения масс в теле Земли по долготе также вызывают соответствующие отклонения фигуры геоида от поверхности эллипсоида вращения. Эти замечания должны приниматься во внимание при детальном изучении фигуры Земли; в то же время влияние этих отступлений от реальных условий выражается величинами, хотя далеко не пренебрегаемыми, но не могущими изменить сделанный вывод о том, что фигура геоида близка к фигуре эллипсоида вращения.

Эллипсоид вращения, поверхность которого выражается уравнением (59.14), иногда называют идеальным геоидом .

Теперь перейдем к получению выражения для величины силы тяжести на уровенной поверхности, определяемой уравнением (59.14), т. е. на идеальном геоиде . Из (58.14) имеем

(59.17)

(знак минус взят потому, что сила тяжести направлена внутрь, а производная берется по направлению внешней нормали).

В (59.17) значение силы тяжести выражается как производная от потенциала по нормали к идеальному геоиду с точностью до малых величин первого порядка, имеющему форму эллипсоида вращения. Однако в (59.5), выражающем потенциал силы тяжести, направление нормали не входит; определим, какую

- dW dW

ошибку мы допустим, взяв вместо производную

Различие направлений нормали h и радиуса-вектора г выражается разностью геодезической и геоцентрической широт, которая максимально достигает значения 11,8 На основании (58.12) можно сказать, что, дифференцируя по г, а не по А, мы вместо g получим g cos (ф - Ф), т. е.

gcos (ф- Ф)= -

где ф - широта, образованная нормалью к поверхности земного эллипсоида.

Так как cos (ф - Ф) = сов 11,8 = 0,999995, то с точностью 5-10 можем написать

=--дГ-

Дифференцируя (59.10) по г, получаем

fM 3 3 ф) Щд 1 C0S2 ф.

(59.18)

Полученная формула позволяет с указанной выше степенью приближения вычислять значения ускорения силы тяжести для внешней точки, враш;ающейся вместе с Землей и определяемой координатами г и Ф.

Чтобы получить g для точек рассматриваемой поверхности, заменим г в главном члене его выражением согласно (59.14), а в остальных членах, вследствие их малости, положим г = а, тогда

После разложения в ряд по биному Ньютона с удержанием лишь членов первого порядка малости получим

= [ + 2(1 М+У) 8т2ф][1-н:(1-38т2ф)-дсов2ф

[1 + 1ж-+(2-Т)--Ф]-

(59.20) (59.21)

Из (59.16) имеем

3 м- я Т м - Т*

(59.22)

После подстановки в (59.2) а--1- вместо -- получим

Обозначая через gQ ту часть (59.22), которая не зависит от широты, т. е.

(l + a g)=g , (59.23)

олучаем

sin2 Ф

(59.24)

По-прежнему, удерживая члены первого порядка малости, последнее выражение перепишем

Вводя обозначение

1+ (-g-a)sin2 0]. (59.25)

P=-g-a (59.26)

и пренебрегая различием геоцентрической широты Ф от геодезической ф, получаем окончательно с принятой точностью

= ёо(1 + Р8ш2ф). (59.27)

Для определения физического смысла коэффициента р напишем (59.27) для точки полюса (ф = 90°). Тогда получим

откуда

§ = (59.28)

Следовательно, коэффициент р - разность ускорения силы тяжести на полюсе и экваторе, выраженная в относительной форме.

Таким образом, в результате вывода мы получили формулы:

/ = a(l-asin2 0), (59.29)

= о(1 + §5ш2ф), (59.30)

р=1д а. (59.31)

Уравнения (59.30) и (59.31) и составляют так называемую теорему Клеро. Напишем последние две формулы еще и в такой форме:

= о+(9о°-о)ЯЧ> (59.32)

g9o° go =q a. (59.33)

1 1 sin ф = -г- -5- cos 2ф

Так как

eiTi2 гп =

2 2 И

45°=o(l+4-p).

ТО формулу (59.30) можно переписать так:

= 45°(1---со8 2ф). (59.34)

Полученные формулы имеют чрезвычайно важное научное и практическое значение.

Формула (59.30) выражает зависимость ускорения силы тяжести на земной поверхности от географической широты. Она выражает в общем виде нормальное распределение силы тяжести,