риальная точка, перемещаясь по нормали aoj и bb произведет одинаковую работу. Поэтому можно написать равенство

АДг = gi A/ig.

Так как в разных точках ускорения силы тяжести в общем случае различны, то для сохранения написанного равенства должно быть Ai Ф Ah, что и определяет непараллельность уровенных поверхностей.

4. Фигура Земли, определяемая в общем виде уравнением W = V -\- U = = С, зависит главным образом от силы притяжения, так как влияние центробежной силы мало. Действительно, взяв наибольшее значение центробежной силы, которое она достигает на экваторе (иа, вьгаислим отношение

=. (58.20)

где go - значение силы тяжести на экваторе.

Принимая gQ - 978 049 мгл, а = 6 378 245 и © - согласно (52.5), получаем

Ч-ШЛ- (58-21)

Следовательно, величина q одного порядка со сжатием Земли а.

При последующих выводах формул величины а ж q будут приниматься малыми величинами первого порядка. Если удерживать члены только с а или q и пренебрегать членами с и q, то будем допускать ошибку порядка

(w)= 0.00001.

Такая точность формул даст ошибку в ускорении силы тяжести около 10 мгл. Поскольку ускорение силы тяжести вычисляют с ошибкой до сотых частей миллигала, то в соответствующих формулах необходимо удерживать величины до второго порядка малости включительно, т. е. до или q .

Величина центробежной силы и ее направление, как и закон ее изменения на земной поверхности, хорошо известны. Отметим, что центробежная сила действует только на материальные точки, жестко связанные с телом Земли. Если не принимать во внимание атмосферу, вращающуюся вместе с Землей, то можно сказать, что для точек, не связанных с Землей, центробежная сила равна нулю, а сила тяжести обращается в силу притяжения. В действительности, атмосфера в пределах некоторого расстояния от 3 мли будет передавать на материальные тела действие центробежной силы.

5. Найдем оператор Лапласа для потенциала силы тяжести. Для этого предварительно определим оператор Лапласа для центробежной силы. Напишем вторые производные из (58.6):

Тогда

А.=++ = 2. (58.23)

Оператор Лапласа для потенциала силы тяжести тогда выразится формулами:

для внэшнеи точки

AW = AaF -Ь Agf/ = 20)2; (58.24)

для внутренней точки

AW = --4л/б + 2ш2. (58.25)

Поскольку ДаС/ = 2а)2 постоянно, то все соображения, изложенные в § 57 относительно функций А остаются в силе и для AW.

Как уже отмечалось, вторые производные потенциала характеризуют кривизну уровенной поверхности, и там, где плотность меняется скачкообразно, кривизна уровенной поверхности также претерпевает скачкообразные изменения. Этот вывод имеет важное значение для изучения фигуры геоида. Его поверхность пересекает массы разной плотности; в этих местах кривизна поверхности геоида также меняется скачкообразно. Резкие изменения плотностей происходят и на самих материках в зависимости от структуры и состава земной коры и формы земной поверхности. В этом случае они вызывают скачкообразные изменения кривизны геоида.

Кривизна геоида меняется скачком прежде всего на берегах морей и океанов, а также там, где геоид пересекает горные породы разной плотности.

Вместе с тем все уровенные поверхности и геоид, как одна из этих поверхностей нигде не терпят никаких разрывов; это вытекает из непрерывности потенциала силя тяжести.

6. Первые производные потенциала силы тяжести так же, как и сила притяжения, всюду непрерывны. Поскольку первые производные определяют нанравление векторов силы, т. е. силовых линий, то и последние также непрерывны.

§ 59. Теорема Клеро

Клеро дал вывод своей теоремы, основываясь на исследованиях фигур равновесия тел с неоднородной массой. При этом он предположил, что Земля по форме - эллипсоид вращения с малым сжатием, состоящий внутри из эллипсоидальных слоев, имеющих общий центр и совпадающие главные оси инерции; каждый слой однороден по плотности, но закон изменения плотностей при переходе от слоя к слою произволен.

Приведем один из выводов теоремы Клеро, основанный на теории потенциала и, в частности, на использовании выражения для потенциала силы тяжести в виде ряда.

Напишем на основании (54.25)

-f {с---) (1-3 sin2 ф) + {В-А) C0S2 Ф cos 2Х. (59.1)

Так как для эллипсоида вращения моменты инерции в плоскости экватора между собой равны, т. е. Л = В, то (59.1) примет вид

= +-2ГГ ) (i sin фу (59.2)

Разность С - А имеет размерность массы, помноженной на квадрат расстояния.

Положим

C-A=:lia\ (59.3)

где а - большая полуось земного эллипсоида,

\1 - некоторая воображаемая добавочная масса, расположенная вдоль экватора, обусловливающая различие С от А и В.

Тогда

Теперь получим выражение для потенциала силы тяжести W. Так как W = V -\- Q, то будем иметь

W + (I 3sin20) + -lr2cos20.

(59.4)

(59.5)

Преобразуем выражение для потенциала центробежной силы, т. е, последний член формулы (59.5).

Возьмем отношение центробежной силы к силе тяжести на экваторе, т. е.

(О-а

(59.6)

Так как q - малая величина первого порядка, можем заменить gQ черев

L- т. е. притяжением шара массы М на точку земного экватора. Получим

откуда

fM *

2 fMq

Тогда потенциал Q примет вид

Q=r cos2Ф = дг2 cos2Ф. Подставляя (59.9) в (59.5), находим

-Ь+Ш (1 38Ш2ф) + С082ф

(59.7) (59.8)

(59.9)

(59.10)

Пользуясь полученным приближенным выражением для потенциала силы Мжести, напишем уравнение уровенной поверхности, отклонения которой От поверхности геоида не превосходили бы величин первого порядка малости.

Это уравнение имеет вид

\ Для определения искомой постоянной Cq поставим условие, чтобы на кваторе, т. е. при Ф = 0°, радиус поверхности равнялся большой полуоси а. Подставив эти значения для г и Ф в (59.10), получим выражение для Со

>Ч1ли

(l+lfe- + l)=o. Г[+27?-(1-ЗзшФ) + созф] = (1.

Таким образом, fM

(59.11)

- (59.12)