Далее, проекция силы тяжести на оси координат будет:

/г I л dV dU

Возьмем функцию W

Очевидно,

дх ди

ду дЦ dz

(58.7)

(58.8)

(58.9)

Отсюда заключаем, что функция W, определяемая уравнением (58.8), является потенциалом силы тяжести. Потенциал силы тяжести равен сумме потенциалов силы земного притяжения и центробежной силы.

Обозначая (g, х), (g, у), {g,z) углы, которые образует направление силы тяжести с осями координат, находим:

gx = gCOS{g, Х)

gy = gcos{g, у) g = g COS (g, z) J

Выражение для потенциала W может быть написано и в виде

dT , 0)2

(58.10)

(58.11)

где dx - элемент объема.

б - объемная плотность.

Остановимся подробнее на свойствах потенциальной функции, изложенных в § 55, применительно к потенциалу силы тяжести. 1. Согласно (55.6), можем написать, что

= gcos{g, s) = g

(58.12)

т. е. производная потенциала силы тяжести по любому направлению равна проекции силы на это направление.

2. На основании (55.12) при cos (g, s) = О, т. е. при перемещении материальной точки в направлении, перпендикулярном силе тяжести, будем иметь

W = пост. = С.

(58.13)

Полученное выражение (58.13) является общим уравнением уровенных поверхностей силы тяжести. В каждой точке такой поверхности сила тяже-

vl сти направлена по нормали к этой поверхности, а составляющие силы тяжести по касательной к поверхности в любой точке равны нулю.

Поверхность жидкости в спокойном состоянии представляет собой уровенную поверхность, поверхность равновесия, или, как принято говорить, горизонтальную поверхность, слагающая сила тяжести по касательной к которой в любой точке и в любом направлении равна нулю.

Меняя в (58.13) значение С, получаем разные уровенные поверхности. Уровенная поверхность, совпадающая с невозмущенной поверхностью океанов, называется поверхностью геоида.

3. Выражения (55.17) для потенциала силы тяжести примут вид:

-=g; dW = -gdh, dh . (58.14)

Эти зависимости соответствуют случаю, когда в выражении (58.12) cos {g, s) = -1, т. е. когда перемещение точки происходит в направлении, противоположном направлению силы тяжести, а dh представляет собой расстояния между уровенными поверхностями ТУ и W 4- dW.

Последнее уравнение из (58.14) показывает, что расстояния между двумя близкими уровенными поверхностями не равны в разных точках, а обратно пропорциональны силе тяжести, действующей в этих точках. На полюсе, где сила тяжести имеет максимальное значение, уровенные поверхности сближаются, а на экваторе расходятся.

Из последних уравнений также следует, что dh - величина одного порядка с dW и ни при каких условиях dh не может обратиться в нуль, если dW Ф О (так как g - конечная величина), поэтому уровенные поверхности между собой не пересекаются.

Из тех же формул следует, что уровенные поверхности не параллельны между собой.

Непараллельность уровенных поверхностей влияет на определение высот точек земной поверхности, получаемых из геометрического нивелирования. Интегрируя второе из уравнений (58.14), получаем

Jgd/i--(58.15)

где под dh можно понимать измеренное превышение, определяемое как разность отсчетов по задней и передней рейкам с одной установки нивелира.

Если это суммирование превышений исполнено между некоторыми двумя точками физической земной поверхности А ж В (рис. 112), расположенными на конечном расстоянии и на разных уровенных поверхностях, то будем иметь

\gdh = ~g (Ев - На) = ]Уа - Wb (58.16)

ИЛИ.

W. -Wt,

(Нв-На) - \ (58.17).

где g - некоторое значение силы тяжести:

Нв - На = АН - превышение точки В над точкой А.

Разность потенциалов Wa - Wb постоянна. Отсюда следует, что разность высот точек А ж В будет получать различные значения при разном выборе величины g.

Из (58.16) следует, что разность потенциалов может быть определена из данных нивелирования при условии измерения силы тяжести вдоль линии нивелирования.

Если принять, что точка А находится на уровне, на котором значение потенциала силы тяжести равно Wq, то

WB = Wo-gdh. (58.18)

Из (58.17) можно также написать

Нв= - . (58.19)

Для последнего принято, что ==0, а g - по-прежнему некоторое значение силы тяжести.

Из (58.18) следует, что, зная значение потенциала силы тяжести в исходном пункте, можно получить из результатов нивелирования значение потенциала для любой точки земной поверхности. При этом, учитывая современную высокую точность нивелирования и измерений силы тяжести, ошибка определения потенциала Wb будет зависеть от ошибки, с которой известна постоянная Wq. Заметим также, что разность потенциалов Wa - в-, при вычислении ее по формуле (58.16), не зависит от пути нивелирования.

. земная по-

дсрхност

Рис. 112

Непараллельность уровенных поверхностей можно доказать, не прибегая к общей теории потенциала.

Рассмотрим две уровенные поверхности аЬ ж аЬ (см. рис. 112) и допустим, что они весьма близки одна к другой. Ускорение силы тяжести в точках а ж Ъ обозначим через gi и отрезки нормали к уровенной поверхности ааж bbi - через AAi и АЛа- Из механики известно, что материальная точка, перемещаясь из одной уровенной поверхности на другую, производит механическую работу, выражаемую произведением gh, причем эта работа не зависит от пути перемещения, а только от положения конечных точек. Следовательно, мате-