Нефть и песок О стали Компрессор - подбор и ошибки Из истории стандартизации резьб Соперник ксерокса - гектограф Новые технологии производства стали Экспорт проволоки из России Прогрессивная технологическая оснастка Цитадель сварки с полувековой историей Упрочнение пружин Способы обогрева Назначение, структура, характеристики анализаторов Промышленные пылесосы Штампованные гайки из пружинной стали Консервация САУ Стандарты и качество Технология производства Водород Выбор материала для крепежных деталей Токарный резец в миниатюре Производство проволоки Адгезия резины к металлокорду Электролитическое фосфатирование проволоки Восстановление корпусных деталей двигателей Новая бескислотная технология производства проката Синие кристаллы Автоклав Нормирование шумов связи Газосварочный аппарат для тугоплавких припоев
Главная --> Промиздат -->  Астрономические методы 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 ( 82 ) 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169

Символически уравнение Лапласа пишется так:

Д2У = 0. (57.7)

Обычно символ

52 . 52 , 52

дх- ду- dz-

называют оператором Лапласа.

Уравнение Лапласа справедливо для точек пространства, расположенных вне притягиваюш;его тела. Это следует из того, что если притягиваемая точка лежит внутри тела, то разности {а - х), (Ъ - у) и {с - z), а следовательно, и г могут стремиться к нулю. В этом случае подынтегральное выражение в (57.4) в пределе обращается в О/О.

Приведем вывод более общего уравнения Пуассона для случая, когда притягиваемая точка находится внутри тела.

Допустим, что вокруг притягиваемой точки, расположенной внутри тела, описана малая сфера конечного радиуса, но столь малого, что плотность вещества внутри этой сферы можно было бы считать одинаковой. Заметим, что притягиваемая точка должна располагаться внутри этой сферы, но необязательно в центре; сама сфера должна полностью находиться внутри тела.

Обозначим:

- потенциал притяжения тела на притягиваемую точку, но без выделенной в теле сферы;

Уа - потенциал притяжения сферы.

Тогда полный потенциал V всего тела выразится формулой

FFi + Fo, (57.8)

а оператор Лапласа для F - формулой

A,F = A2Fi-f-A2Fo, (57.9)

но для Fi будет справедливо уравнение Лапласа

A2F1-O, (57.10)

так как для него значение расстояния г нигде в нуль обращаться не может. Потенциал Fg сферы, очевидно, представляет собой потенциал притяжения шара на внутреннюю точку, полученный в § 56. Поэтому, согласно (56.37), имеем

F2 = -я/б(3/?2-p2).

Для нашего случая R - постоянный радиус сферы, а р определяется как функция координат из выражения

р2 = (а - xf + {b- yf -Ь (с - z)2, (57.11)

6 - плотность вещества внутри выделенной в теле сферы.

Для вычисления А2У2 первоначально находим первую производную

Из (57.11) легко вычисляем

= -я/бр



Поэтому

- = -ф(а-х). Дифференцируя еще раз по х, получаем

=-4 /6. (57.12).

Так как правая часть полученного выражения не зависит от х, то по аналогии можем написать

d-W d2V dW 4 дх ду ~ dz ~ 3

Суммируя все три вторые производные, получаем

A2F2 = -43t/6. (57.13)

Теперь, принимая во внимание (57.9) и (57.10), находим искомое уравнение Пуассона

где под б следует понимать плотность тела в малой окрестности вокруг притягиваемой точки. Если в исследуемой точке нет притягивающих масс, т. е. S = О, уравнение Пуассона обращается в уравнение Лапласа. Иначе говоря уравнение Лапласа можно рассматривать как частный случай уравнения Пуассона, когда 6=0.

Уравнения Лапласа и Пуассона являются фундаментальными в теории потенциала.

Определение внешнего потенциала Земли и изучение ее фигуры основываются на интегрировании уравнения Лапласа при дополнительных условиях, вытекающих из существа конкретной задачи.

Функции, непрерывные во всех точках данной области вместе с их первыми и вторыми производными и удовлетворяющие уравнению Лапласа (57.6), называются гармоническими функциями в этой области.

Потенциал притяжения для точек в области, не занятой притягивающими массами, будет всегда гармонической функцией; иначе говоря, в любой точке пространства вне притягивающего тела потенциальная функция V всегда будет удовлетворять уравнению Лапласа AgF = 0.

В каждой точке внутри притягивающего тела потенциал силы притяжения будет удовлетворять уравнению Пуассона

A2F=-4rt/6.

Если первые производные от потенциала по осям координат представляют собой проекции силы на соответствующие оси или, иначе говоря, определяют направление нормали к данной уровенной поверхности, то вторые производные потенциала притяжения определяют форму или кривизну уровенной поверхности в данной точке.

Ив уравнения Пуассона следует, что если плотность имеет скачкообразное изменение, то и кривизна уровенной поверхности изменяется скачком; это бывает, в частности, в том случае, если данная уровенная поверхность пересекает физическую поверхность тела.



§ 58. Потенциал силы тяжести, его основные свойства Напишем известное выражение для силы тяжести

Потенциал силы притяжения найден в § 53; для получения силы тяжести найдем потенциал центробежной силы Q. Центробежная сила при т = \ выражается уравнением

Если во взятой системе прямоугольных координат ось Z совместить с осью вращения, то центробежная сила будет параллельна плоскости ху и составляющая этой силы по оси z будет равна нулю. Определим составляющие ее по осям х и у. Центробежная сила направлена по радиусу р (рис. 111). Имеем:

X - р cos а у = р cos р

(58.1)


Рис. 111

Проекции центробежной силы Q на оси хжу будут равны:

Qx = Q cos а = (ор cos а, Qy = Q cos f) = (ор cos Р.

(58.2) (58.3)

Определяя из (58.1) значения cos а и cos р и подставляя их в (58.2) и (58.3), получаем составляющие центробежной силы:

Qx= 0)2,2;

(58.4)

Эти составляющие являются частными производными по прямоугольным координатам функции

со -

(58.5)

которая, следовательно, является потенциальной функциейцен-тробежной силы. Действительно:

dU dz

= 0 = Q,



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 ( 82 ) 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169