получим

а2 cos В COS L

У а2 cos2iy-f 62sin2 В а2 COS в sin L

/a2cos2 5-f 62sin2 В bsinB

обозначая

>a2cos2 5 + 62sin2 В

]/acosB + bsinB = p, Формулы (4.35) перепишутся:

a2 COS В cos L

2 COS В sin L p

bsixxB

(4.35)

(4.36)

(4.37)

§ 5. Главные радиусы кривизны в данной точке эллипсоида

Через нормаль к поверхности эллипсоида можно провести бесчисленное множество плоскостей. Эти плоскости, перпендикулярные к касательной плоскости к поверхности эллипсоида в данной точке, называются нормальными. Кривые, образуемые от пересечения нормальных плоскостей, проведенных в данной точке, с поверхностью эллипсоида, называются нормальными сечениями. В каждой точке существует два взаимно перпендикулярных нормальных сечения, кривизна которых имеет максимальное и минимальное значения; эти нормальные сечения называются главными нормальными сечениями.

В некоторой точке М поверхности эллипсоида вращения главными нормальными сечениями, как известно из дифференциальной геометрии, являются:

1) меридиональное сечение, проходящее через данную точку М и оба полюса эллипсоида Р шР (на рис. 12 меридиональное сечение в точке М представляется эллипсом РМЕРЕ);

2) сечение первого вертикала, проходящее через точку М и перпендикулярное к меридиональному сечению точки М. Сечение первого вертикала изображено на рис. 12 кривой WME, представляющей собой также эллипс.

Обозначим через М ж N радиусы кривизны меридиана и первого вертикала соответственно. Найдем выражения для радиусов кривизны главных нормальных сечений в функции геодезической широты В. Радиус кривизны плоской кривой, выражаемой уравнением вида у = f (х), определяется формулой

Рис. 12

dy dx

Применив эту формулу к меридианному эллипсу, напишем

-- (5-1)

(знак минус взят потому, что <0). Из (4.2) имеем

Рассматривая В как функцию х, дифференцируем формулу еще раз по х

и получаем

d 2 sin2 5 dx Для вычисления воспользуемся формулой (4.7)

X = . г = а cos J5 (1 - е2 sin Ву/. У1 -e2sin2

Дифференцируя последнюю формулу, находим: dx = a{-smB{i - esin 5)-Vi + sin Б cos B{i - e sin Б)-/2} c,

da:;

(5.2)

= asmB{i - esin 5)-= { (1 2 дг /j) 2032 щ = - a sin Б (1 - e2 sin2 B)-f (1 - 2).

Следовательно,

d2y (I e2sin2 5)/

dx2 asin3f?(l -e2)

Подставляя полученные выражения для и в (5.1), находим

(14-ctg2j?)/flsin3 е2)

(1 -е2 sin2 5)/

Окончательно

M-SLzi. (5.3)

(1 -e2sin2 jB)

Из (5.3) ясно, что М возрастает при изменении Б от О до 90°. Радиус кривизны меридианного эллипса в полюсах (при В = 90°) обозначим через с, тогда

(1 е2)/2 Yi-e2 Принимая во внимание (2.7) и (2.5), находим

Обозначив напишем

Введем еш,е функцию

W3

Так как, согласно (2,5) и (2.6),

(5.5) (5.6)

(5.7)

1- 2

- * Р

2

l-e2sin2B = l

l t e2cos2 5

а(1+)/

или, согласно (5.4),

73 уз

(5.8) (5.9)

W ж V - соответственно называются первой и второй основными функциями геодезической широты; они имеют большое значение в теории сфероидической геодезии.

Заменяя в (5.3) первый эксцентриситет его выражением через полуоси и используя обозначение (4.36), формула (5.3) для М перепишется

a2fe2

(5.9)

Для определения радиуса N первого вертикала заметим, что если сечение первого вертикала WME (рис. 12) - нормальное сечение, то параллель MQS - наклонное сечение, поскольку нормаль не лежит в плоскости этого сечения. Указанные два сечения в точке М имеют общую касательную. Для доказательства этого положения проведем в точке М касательную к параллели МТ; эта касательная, лежащая в плоскости MQSC, перпендикулярной к меридианной плоскости ME РЕР, перпендикулярна к прямой МС, образованной пересечением этих плоскостей. Таким образом, касательная МТ перпендикулярна к плоскости меридиана РМЕР, поэтому плоскость первого вертикала будет содержать прямую МТ, если Мп - нормаль к поверхности эллипсоида в точке М, то угол ТМп равен 90°, следовательно, МТ будет касательной и к кривой EMW.

Имея это в виду, воспользуемся теоремой: если через точку поверхности проведены два сечения- нормальное и наклонное, причем в рассматриваемой точке эти два сечения имеют общую касательную, то радиус кривизны наклонного сечения равен радиусу кривизны нормального сечения, умноженному на косинус угла между плоскостями этих двух сечений.