Главная страница
Форум
Промиздат
Опережения рынка
Архитектура отрасли
Формирование
Тенденции
Промстроительство
Нефть и песок
О стали
Компрессор - подбор и ошибки
Из истории стандартизации резьб
Соперник ксерокса - гектограф
Новые технологии производства стали
Экспорт проволоки из России
Прогрессивная технологическая оснастка
Цитадель сварки с полувековой историей
Упрочнение пружин
Способы обогрева
Назначение, структура, характеристики анализаторов
Промышленные пылесосы
Штампованные гайки из пружинной стали
Консервация САУ
Стандарты и качество
Технология производства
Водород
Выбор материала для крепежных деталей
Токарный резец в миниатюре
Производство проволоки
Адгезия резины к металлокорду
Электролитическое фосфатирование проволоки
Восстановление корпусных деталей двигателей
Новая бескислотная технология производства проката
Синие кристаллы
Автоклав
Нормирование шумов связи
Газосварочный аппарат для тугоплавких припоев
|
Главная --> Промиздат --> Астрономические методы Легко проверить, что i{2x-y-z)dm = B+C-2A J (2i/2 ~x-z)dm=:C-A-2B (54.20) r-x-y)dm = AB-2C Поэтому, принимая во внимание (54.18) и (54.20), интеграл (54.15) примет вид [аЦВ + С-2А) + ЬЦС-\-А-2В) + сЦА + В- 2С)]. (54.21) Введем теперь геоцентрические координаты - широту Ф и долготу L, отсчитываемую от плоскости xz. Тогда на основании (4.15) и (4.32) будем иметь: а = г cos Ф cos L 6 = г cos Ф sin L [. (54.22) с = г sin Ф Далее, заменяя cosL и sinL через косинусы кратных дуг, получаем: 2 1 2 cos2 Ф (1 + COS 2L) b = r cos2 Ф (1 - COS 2L) ,2 2 / 2 Sin2 Ф (54.23) -) (1 - 3 sin2ф).1{В-А)cos2 Ф COS 2L. (54.24) Заменяя в (54.21) величины а , и через их выражения (54.23), группируя члены, содержащие cos 2L, после некоторых преобразований получаем выражения для третьего интеграла в (54.9) Принимая во внимание (54.24), а также (54.14), получаем разложение потенциала V в ряд по (54.9) в окончательном виде У = + -tj (с - 4) (1-3 sin2 ф) + (В - Л) cos2 Ф cos 2L. (54.25) Первый член полученного выражения (54.25) представляет собой потенциал шара с массой, равной массе Земли. Второй член, зависящий от широты, представляет собой влияние сжатия Земли или, иначе говоря, влияние возрастания масс от полюса к экватору. Третий член представляет собой влияние неравномерного распределения масс по долготе. Таким образом, полученная формула (54.25) справедлива и для трехосной Земли. Если рассматривать Землю как тело вращения и моменты инерции относи-тельно осей, расположенных в плоскости экватора, положить равными между собой, т. е. Л = 5, то третий член в формуле (54.25) пропадает; соответственно изменится в этой формуле и второй член, и для данного случая формула (54.25) перепишется F = --(C-Л)(l-Зsin2ф). (54.25 ) Выше были упомянуты сферические функции, которые находят себе широкое применение во многих вопросах математической физики, в частности, в теории потенциала и решении основных задач высшей геодезии на основе астрономо-геодезических и гравиметрических измерений и спутниковых наблюдений. Перепишем (54.8) так: f =[l + fcos+()(cos2.-l)-f... + (f) P (cosa))-i-...]. (54.26) Ряд (54.26) сходится при р <г. Р (cos гр) - выражение, являющееся функцией cos oj) порядка п, представляет собой один из видов сферических функций; это многочлены степени п от cos -ф. Они называются многочленами Лежандра. В более общем вид* формула (54.26) перепишется Р (со8г1)). (54.27) Выражение для потенциала притяжения, принимая во внимание (54.1) и (54.27), в общем виде напишется: тг=сзо V = f=f-P,{cos)dm (54.28) ИЛИ, учитывая выражения для первых трех членов ряда, данные формулой (54.8): F = /j + /Jcosil)dm+/ji-(3cos2tj) l)dm-f- ге=оо Интегрируя первые три члена, получим формулу (54.25), конечно, без последнего члена, т. е. -j-{B-A) sin2 Ocos2L. (54.30) Последовательное изучение вопросов программы данного курса дается без использования сферических функций. Приведенные самые начальные и элементарные понятия об этом виде специальных функций и их применение даются для общего ознакомления, которое может быть полезно при более детальном изучении теоретических вопросов геодезии по первоисточникам и специальным трудам (например, [1], [12]; [39] и многие другие). § 55. Основные свойства потенциала притяжения Пусть задана материальная точка В с координатами у, z\ на бесконечно малом расстоянии ds от В возьмем другую материальную точку Б- с координатами X dx, у dy IL Z -\- dz. Очевидно, ВВ = dsY{dxf + [dyf -f {dzf, (55.1) dx = ds cos (5, x) dy = ds cos (5, y) [, (55.2) dz = ds cos {s, z) где (s, a;), (s, i/) и (s, z) - углы, образуемые направлением ds с осями координат X, у, Z. Тогда потенциал V силы притяжения, как функция координат х, у, z, получит приращение при перемещении из точки В в точку 5, равное полному дифференциалу + (55.3) Или, имея в виду (53.9), dV =Fxdx + Fydy + Fdz. (55.4) Принимая во внимание (55.2), (55.4) и (53.3), dV = F ds {cos (s, x) cos (F, x) -f- cos (5, y) cos {F, y) + --cos(s, z)cos{F, z)). (55.5) Ho выражение, стоящее в фигурных скобках, есть косинус угла между направлением силы тяжести F и направлением элемента ds, т. е. cos {F, s). Поэтому dVr=F ds cos {F, s). (55.6) Так как F cos (F, s) = Fg - составляющая силы F no направлению элемента ds, TO dV = F,ds. (55.7) Из равенств (55.6) и (55.7) вытекает ряд важных свойств потенциальной функции. Как известно из механики, элементарная работа силы F при перемещении точки на расстояние ds будет Fds; отсюда следует, что бесконечно малое приращение потенциала есть работа, которую совершает сила F при перемещении единицы массы на расстояние ds. При конечном перемещении единицы массы между некоторыми точками М ж N работа В, совершаемая силой F, будет равна разности потенциалов в этих точках, т. е. B = j Fdscos{F, ds) = j dV = VM - VNAV. (55.8)
|