Нефть и песок О стали Компрессор - подбор и ошибки Из истории стандартизации резьб Соперник ксерокса - гектограф Новые технологии производства стали Экспорт проволоки из России Прогрессивная технологическая оснастка Цитадель сварки с полувековой историей Упрочнение пружин Способы обогрева Назначение, структура, характеристики анализаторов Промышленные пылесосы Штампованные гайки из пружинной стали Консервация САУ Стандарты и качество Технология производства Водород Выбор материала для крепежных деталей Токарный резец в миниатюре Производство проволоки Адгезия резины к металлокорду Электролитическое фосфатирование проволоки Восстановление корпусных деталей двигателей Новая бескислотная технология производства проката Синие кристаллы Автоклав Нормирование шумов связи Газосварочный аппарат для тугоплавких припоев
Главная --> Промиздат -->  Астрономические методы 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 ( 78 ) 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169

Легко проверить, что

i{2x-y-z)dm = B+C-2A J (2i/2 ~x-z)dm=:C-A-2B

(54.20)

r-x-y)dm = AB-2C

Поэтому, принимая во внимание (54.18) и (54.20), интеграл (54.15) примет вид

[аЦВ + С-2А) + ЬЦС-\-А-2В) + сЦА + В- 2С)]. (54.21)

Введем теперь геоцентрические координаты - широту Ф и долготу L, отсчитываемую от плоскости xz. Тогда на основании (4.15) и (4.32) будем иметь:

а = г cos Ф cos L

6 = г cos Ф sin L [. (54.22) с = г sin Ф

Далее, заменяя cosL и sinL через косинусы кратных дуг, получаем:

2 1 2 cos2 Ф (1 + COS 2L)

b = r cos2 Ф (1 - COS 2L)

,2 2

/ 2 Sin2 Ф

(54.23)

-) (1 - 3 sin2ф).1{В-А)cos2 Ф COS 2L. (54.24)

Заменяя в (54.21) величины а , и через их выражения (54.23), группируя члены, содержащие cos 2L, после некоторых преобразований получаем выражения для третьего интеграла в (54.9)

Принимая во внимание (54.24), а также (54.14), получаем разложение потенциала V в ряд по (54.9) в окончательном виде

У = + -tj (с - 4) (1-3 sin2 ф) + (В - Л) cos2 Ф cos 2L. (54.25)

Первый член полученного выражения (54.25) представляет собой потенциал шара с массой, равной массе Земли.

Второй член, зависящий от широты, представляет собой влияние сжатия Земли или, иначе говоря, влияние возрастания масс от полюса к экватору. Третий член представляет собой влияние неравномерного распределения масс по долготе.

Таким образом, полученная формула (54.25) справедлива и для трехосной Земли.

Если рассматривать Землю как тело вращения и моменты инерции относи-тельно осей, расположенных в плоскости экватора, положить равными между собой, т. е. Л = 5, то третий член в формуле (54.25) пропадает; соответственно изменится в этой формуле и второй член, и для данного случая формула (54.25) перепишется

F = --(C-Л)(l-Зsin2ф). (54.25 )



Выше были упомянуты сферические функции, которые находят себе широкое применение во многих вопросах математической физики, в частности, в теории потенциала и решении основных задач высшей геодезии на основе астрономо-геодезических и гравиметрических измерений и спутниковых наблюдений.

Перепишем (54.8) так:

f =[l + fcos+()(cos2.-l)-f...

+ (f) P (cosa))-i-...]. (54.26)

Ряд (54.26) сходится при р <г. Р (cos гр) - выражение, являющееся функцией cos oj) порядка п, представляет собой один из видов сферических функций; это многочлены степени п от cos -ф. Они называются многочленами Лежандра.

В более общем вид* формула (54.26) перепишется

Р (со8г1)). (54.27)

Выражение для потенциала притяжения, принимая во внимание (54.1) и (54.27), в общем виде напишется:

тг=сзо

V = f=f-P,{cos)dm (54.28)

ИЛИ, учитывая выражения для первых трех членов ряда, данные формулой (54.8):

F = /j + /Jcosil)dm+/ji-(3cos2tj) l)dm-f-

ге=оо

Интегрируя первые три члена, получим формулу (54.25), конечно, без последнего члена, т. е.

-j-{B-A) sin2 Ocos2L. (54.30)

Последовательное изучение вопросов программы данного курса дается без использования сферических функций. Приведенные самые начальные и элементарные понятия об этом виде специальных функций и их применение даются для общего ознакомления, которое может быть полезно при более детальном изучении теоретических вопросов геодезии по первоисточникам и специальным трудам (например, [1], [12]; [39] и многие другие).



§ 55. Основные свойства потенциала притяжения

Пусть задана материальная точка В с координатами у, z\ на бесконечно малом расстоянии ds от В возьмем другую материальную точку Б- с координатами X dx, у dy IL Z -\- dz.

Очевидно,

ВВ = dsY{dxf + [dyf -f {dzf, (55.1)

dx = ds cos (5, x)

dy = ds cos (5, y) [, (55.2)

dz = ds cos {s, z)

где (s, a;), (s, i/) и (s, z) - углы, образуемые направлением ds с осями координат X, у, Z.

Тогда потенциал V силы притяжения, как функция координат х, у, z, получит приращение при перемещении из точки В в точку 5, равное полному дифференциалу

+ (55.3)

Или, имея в виду (53.9),

dV =Fxdx + Fydy + Fdz. (55.4)

Принимая во внимание (55.2), (55.4) и (53.3),

dV = F ds {cos (s, x) cos (F, x) -f- cos (5, y) cos {F, y) +

--cos(s, z)cos{F, z)). (55.5)

Ho выражение, стоящее в фигурных скобках, есть косинус угла между направлением силы тяжести F и направлением элемента ds, т. е. cos {F, s). Поэтому

dVr=F ds cos {F, s). (55.6)

Так как F cos (F, s) = Fg - составляющая силы F no направлению элемента ds, TO

dV = F,ds. (55.7)

Из равенств (55.6) и (55.7) вытекает ряд важных свойств потенциальной функции.

Как известно из механики, элементарная работа силы F при перемещении точки на расстояние ds будет Fds; отсюда следует, что бесконечно малое приращение потенциала есть работа, которую совершает сила F при перемещении единицы массы на расстояние ds.

При конечном перемещении единицы массы между некоторыми точками М ж N работа В, совершаемая силой F, будет равна разности потенциалов в этих точках, т. е.

B = j Fdscos{F, ds) = j dV = VM - VNAV. (55.8)



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 ( 78 ) 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169