Согласно закону всемирного тяготения, сила взаимного притяжения точек А ж В выразится формулой

(53.1)

Расстояние г равно

r = {a-xf-\-{b-yf + {c~zY.

(53.2)

Обозначим составляющие силы F по осям координат через Fx, Fy, Fg а углы, образуемые вектором В А с осями координат, - а, Р, у.

Очевидно, Fx, Fy, F будут проекциями вектора F на оси координат ох оу, 0Z.

Из рис. 103

Fх = F cos а

F-ZcosP (53.3)

F 2~F cos 7

(на рис. 103 для простоты построения начало координат совмещено с одним из концов вектора F без изменения направления осей). Но

а - X

cosa = cos в =

(53.4)

cos 7 = -- Подставляя (53.4) в (53.3), получаем

FxF ZQSCLirn fm

F, = F cosy fm 3

Fy = F cos

с -z

(53.5)

Сила притяжения и создаваемое ею напряжение является вектором, который определяется как величиной, так и направлением в пространстве. Поэтому характеристика силового поля в пространстве выражается тремя уравнениями (53.5).

Однако при определенных условиях поле сил может быть выражено одной функцией от координат х, у, z, как независимых переменных.

Возьмем функцию

V = j (53.6)

и найдем частные производные ее по координатам х, у ж z, явно входящим в нее через г,

dV , т dr

Производная вычисляется путем дифференцирования выражения (53.2)

(53.7) 231

следовательно,

аналогично этому

(53.8)

Сравнивая (53.8) и (53.5), получаем

дх дУ ду дУ dz

частные

= F,

(53.9)

Функция F, частные производные которой по прямоугольным координатам притягиваемой точки равны составляющим силы притяженияпо осям координат, называегся потенциальной функцией,

или просто потенциалом притяжения.

Рассмотрим более общий случай, когда точка притягивается некоторым телом. На рис. 104 изображено тело т,

Рис. 103

Рис. 104

создающее вокруг себя силовое поле притяжения. Определим напряжение этого поля в точке А. Разобъем объем тела т на элементарные объемы.

d% = dadbdc. (53.10)

Обозначим через б плотность в единице массы текущей точки М, т. е.

Тогда будем иметь 232

dm ==8 dadb dc.

(53.11) (53.12)

Аналогично с (53.5) проекциями силы притяжения элементарной массы в точке М на точку А будут:

(53.13)

Суммируя действие элементарных масс по всему объему тела, получаем

Fx=fdadbdc

da db dc da db dc

(53.14)

Потенциал притяжения тела М на точку А выразится формулой

V fydadbdc. (53.15)

тэ < dV dV dV

В этом легко убедиться, если вычислить производные и кото-

рые будут равны соответственно Fx, Fy, F.

Вводя в последнее выражение массу, можем написать

(53.16)

В (53.16) интегрирование выполняется по всему объему тела т. Следовательно, пределы интегрирования определяются в зависимости от формы тела.

Если под телом понимать Землю, то выражение (53.16) будет представлять потенциал притяжения Земли на внешнюю точку; в этом случае интегрирование должно выполняться по всему объему Земли.

При бесконечном удалении тела от притягиваемой точки, т. е. когда расстояние г неограниченно велико по сравнению с размерами тела, выражения для силы притяжения и потенциальной функции напишутся:

где М - масса тела.

Из последних выражений имеем:

/м

liniF = 0; limrV = fM; lim г ->- оо г оо

= fM,

(53.17)

(53.18)

Функции, удовлетворяющие равенствам (53.17), называют регулярными на бесконечности.

До сих пор мы полагали, что притягиваемая точка находится вне притягивающего тела. Допустим теперь, что притягиваемая точка расположена внутри